ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ФУНКЦИЯ ОШИБОК И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Введем обозначение
так что
а
Кроме того, мы можем написать
Будем теперь искать приближения для 
при малых и больших значениях х.
Для малых значений х используем разложение в ряд 
в выражении (1); тогда
Так как этот ряд равномерно сходится, то его можно почленно проинтегрировать, и следовательно,
Для больших значений х мы поступим следующим образом. Простое интегрирование по частям дает
Повторяя этот процесс 
раз, получим
Этот ряд не сходится, так как отношение 
члена к 
при увеличении 
не остается меньшим единицы. Однако если мы возьмем 
членов этого ряда, то остаток, т. е.
будет меньше 
члена, так как
Таким образом, мы можем остановиться на любом члене ряда; тогда сумма всех членов до него служит приближением для нашей функции, причем допускаемая ошибка меньше абсолютной величины последнего еще не отброшенного нами члена. С такой точностью значения 
для больших х можно вычислить по формуле
Функция 
часто встречается в задачах теплопроводности.
Укажем некоторые другие важные интегралы, также сводящиеся к функции ошибок [9]:
Производные и интегралы функций ошибок.
Последовательные производные функции ошибок обозначаются следующим образом:
и, следовательно,
и т. п. Их значения затабулированы и приведены в [7]. В задачах теплопроводности интегралы функции ошибок играют очень большую роль. Введем обозначения
причем
Для краткости мы часто будем писать вместо 
Тогда, интегрируя по частям, получим
и
или
Общая рекуррентная формула имеет вид
причем (13) для случая, когда 
легко получить методом индукции.
Из соотношения (14) следует, что
Кроме того, из (14) следует, что 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Функция ошибок при комплексном аргументе.
Эта функция, имеющая огромное значение для задач теплопроводности, лишь недавно затабулирована Фадеевой и Терентьевым [13]. Они определили ее следующим образом:
где
так что
Некоторые значения функций 
приведены в табл. 2 и 3 настоящего приложения.
Соотношения (4) и (5), полученные выше для действительного 
справедливы также и для комплексного 
