§ 3. Использование интегралов Фурье и преобразований Фурье
В § 2 настоящей главы отмечалось, что решение Лапласа может принять форму (2.2), которая связывалась с интегралом Фурье для 
Указанное решение можно вывести также из интегральной теоремы Фурье. Для этого удобнее всего, по-видимому, использовать преобразование Фурье. Мы приведем здесь краткое изложение данного метода и покажем, как он приводит к решению Лапласа.
Согласно интегральной теореме Фурье (см. [11], § 119), если 
определена для всех х, удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном интервале и если существует интеграл
то
или
во всех точках, в которых 
непрерывна, а в точке разрыва первого рода
Так как
то из выражений (3.3) и (3.4) следует, что
Указанное соотношение является математическим выражением комплексной формы интеграла Фурье. Ее можно записать следующим образом: если
то
Здесь функции 
являются преобразованиями Фурье друг для друга; если одна из них известна, то другая следует из соответствующей формулы (3.6) или (3.7).
Большое практическое значение имеют следующие два случая. Если 
нечетная функция х, то соотношение (3.2) принимает вид
Иными словами, выполнение любого из соотношений:
подразумевает справедливость другого. Функции 
называются синус-преобразованиями Фурье друг для друга.
Если же 
четная функция х, то выражение (3.2) принимает вид
Иными словами, выполнение любого из соотношений:
подразумевает справедливость другого. Функции 
называют косинус-преобразованиями Фурье друг для друга.
Теперь мы покажем, как соотношения (3.6) и (3.7) можно формально применить к задаче, поставленной в § 2 настоящей главы, т. е. для решения уравнения
при
Отметим, что функция
удовлетворяет уравнению (3.14) при любых значениях 6. Примем, что общее решение (3.14) и (3.15) записывается в виде
При 
получим
Поэтому, согласно выражению (3.6),
Подставляя его в (3.17), получим
Конечно, для обеспечения строгости нашего анализа необходимо провести дальнейшие рассуждения. В книге Титчмарша [7] рассматривается случай, когда 
является экспоненциальной функцией.
