§ 7. Приложения этого метода [20, 21]

I. Сектор круга.

Рассмотрим преобразование

В этом случае, обозначая получим

а сектор радиуса а с углом а соответствует области в плоскости

Тем самым уравнение

при условиях

и

приводится к виду

и

Это уравнение в плоскости уже встречалось при рассмотрении неограниченного тела с прямоугольным сечением, и его решение, согласно формуле (2.11) гл. V, имеет вид

Поэтому температура в рассматриваемом нами секторе дается выражением

Если граница поддерживается при температуре то задача сводится к решению уравнений

и

Это решение уже рассматривалось в § 2 гл. V.

Подобным же образом, если граница поддерживается при заданной температуре а другие границы имеют нулевую температуру, то решение вытекает из соотношения (2.18) гл. V.

Если мы аналогичным путем воспользуемся формулой (7.1), то угол преобразуется в неограниченную полосу следовательно, решение для установившейся температуры в клине с произвольной температурой границы непосредственно вытекает из соотношения (2.19) гл.

II. Круг.

Рассмотрим преобразование

В этом случае

а круг соответствует области

плоскости

Тем самым решением уравнения

служит решение уравнения

Решение уравнения (7.4) имеет вид

где

Таким образом, получаем

Отсюда температура в круге запишется в виде

Интеграл (7.6) есть интеграл Пуассона (см. [22]).

III. Область между двумя концентрическими окружностями. Решение в этом случае можно получить при помощи того же преобразования в виде

где

являются рядами Фурье для в интервале от до .

IV. Область между двумя пересекающимися или непересекающимися окружностями.

Рассмотрим преобразование

В этом случае

где расстояния от точек и до точки Р(х, у), а углы, образованные отрезками и с положительным направлением оси х (рис. 49).

Рис. 49.

Тогда при мы получим систему окружностей с центрами на одной прямой, для которых служат предельными точками, а при систему окружностей, проходящих через точки Эти две системы кривых, как и во всех случаях сопряженных функций, являются ортогональными. При таком преобразовании плоскости соответствует — нижней стороне участка ВА вещественной оси соответствует ; лучам соответствует верхней стороне участка ВА соответствует области положительные значения а области отрицательные ее значения. Кроме того, точке А соответствует точка точке В — точка а линии соответствует

Перейдем к применению этого преобразования к некоторым случаям, когда область в плоскости ограничена дугами окружностей.

1) Рассмотрим область, ограниченную линиями

и показанную на рис. 49 жирными линиями.

Пусть при и

Тогда мы получим

где

Легко распространить это решение на случай:

2) Рассмотрим область, ограниченную двумя окружностями охватывающими предельную точку А.

Пусть при при Тогда решение, очевидно, запишется в виде

где

Рис. 50.

Подобным же образом, если при при то

где — коэффициенты ряда Фурье для в интервале

Складывая эти два выражения, получим решение для случая, когда граничные окружности и поддерживаются при температурах соответственно

Ясно, что если и постоянны и равны соответственно то следует только решить уравнения

Искомое решение имеет вид

Стационарный тепловой поток в области между двумя заданными окружностями будет, кроме того, рассматриваться в § 9 данной главы.

3) Рассмотрим область с границами:

показанную на рис. 50.

Предположим, что

Тогда, как и в § 2 гл. V, решение имеет вид

где

Предположим далее, что

Из соотношения (2.18) гл. V следует, что

Решение для случая, когда все три границы (см. рис. 50) поддерживают при заданной температуре, находят сложением решения (7.10) и двух решений типа (7.11).

4) Рассмотрим область с границами

Пусть

и

Тогда, используя, как и выше, соотношение (2.19) гл. V, найдем

V. Софокусные эллипсы или гиперболы.

Рассмотрим преобразование

или

Тогда

и

Следовательно, кривые образуют ряд софокусных эллипсов и гипербол, а плоскость соответствует — причем для нижней части этой плоскости а для верхней ее части

1) Два софокусных эллипса. Рассмотрим область с границами Пусть

Тогда, как и выше,

где — коэффициенты рядов Фурье для в интервале от до

2) Два полу эллипса и отрезок большой оси между ними. В этом случае область имеет границы

Пусть

и

Очевидно, что в данном случае решение имеет вид

где и коэффициенты рядов по синусам для

3) Полу эллипс. В этом случае область имеет границы

Пусть при и пусть на большой оси температура равна нулю. Тогда

где коэффициент ряда по синусам для

4) Полный эллипс. В этом случае решение должно удовлетворять уравнению

Кроме того, при переходе через большую ось или при движении вдоль нее не должно возникать разрыва непрерывности температуры или теплового потока.

Всем этим условиям удовлетворяет выражение

где коэффициенты ряда Фурье для в интервале от до

5) Четырехугольник, ограниченный дугами двух софокусных эллипсов и гипербол. Он приводится к прямоугольнику в плоскости Отсюда и получается соответствующее решение.