§ 4. Установившийся тепловой поток в составном теле

Задача о нарушении установившегося линейного теплового потока в однородной среде погруженным в нее объектом с другой теплопроводностью очень важна в технике. Математически она точно соответствует задаче о наведенном магнетизме тела такой же формы, помещенного в однородное внешнее поле, и ее решения можно найти в учебниках по электричеству и магнетизму. Однако основные решения вследствие их важности кратко излагаются ниже. Решения для шаров и эллипсоидов можно использовать для оценки изменений геотермического градиента, вызываемых погружением массы с теплопроводностью, отличной от теплопроводности всей среды, и они представляют очень большой интерес для термических методов разведки. Кроме того, точное решение для одиночного шара или эллипсоида используется статистически при расчетах теплопроводности гранулированных материалов. Последние рассматриваются как ряд частиц одного материала, вкрапленных в основную породу из другого материала. Ниже, в примере IV, приведен простой пример использования этого метода.

Изучение поведения теплового потока и температуры вблизи поверхности соприкосновения двух материалов представляется важным в связи с

изучением геотермического потока тепла. Идеализированные задачи для тел, ограниченных плоскостями, пересекающимися под прямым углом, можно рассматривать методами, изложенными в гл. V (см. ниже пример V). Кроме того, использованы простые решения уравнения Лапласа в виде многочленов (см. пример VI).

I. Область внутри шара имеет коэффициент теплопроводности а область вне его — коэффициент К. На больших расстояниях температура стремится к величине

Пусть температуры и внутри и вне шара описываются функциями

где неизвестные коэффициенты, а сферические координаты. Функции (4.1) и (4.2) удовлетворяют уравнению Лапласа, при ограничено, при как и требуется. Граничные условия при

дают

Разрешая эти уравнения относительно и подставляя их значения в (4.1) и (4.2), окончательно получим

Градиент температуры в шаре равен Цилиндр с коэффициентом теплопроводности ось этого цилиндра перпендикулярна оси Область вне цилиндра имеет коэффициент теплопроводности а ее температура на больших расстояниях равна

Температуры внутри и вне цилиндра равны следующим величинам:

III. Эллипсоид с коэффициентом теплопроводности К находится в среде с коэффициентом теплопроводности К-

Рассмотрим эллипсоид

и предположим, что температура среды на больших расстояниях от него стремится к величине

Пусть для любой точки служит положительным корнем уравнения

Тогда как так и где

удовлетворяют уравнению Лапласа.

Путем рассуждений, аналогичных рассуждениям, приведенным в примере I, находим, что температуры внутри и вне эллипсоида имеют вид

где

интегралы при Следует отметить, что

Для различных эллипсоидов вращения, в которых две оси равны, интегралы (4.10) можно выразить через элементарные функции. Ниже приводятся полученные результаты (расчеты см. в книге [13]).

Вытянутый эллипсоид вращения, эксцентриситет софокусного эллипса, проходящего через рассматриваемую внешнюю точку, и при равно т. е. эксцентриситету образующего эллипса

Сплющенный эллипсоид вращения,

где

В качестве простого примера рассмотрим длинный вытянутый эллипсоид вращения а (которым может служить зонд для измерения теплопроводности или часть кожуха) с коэффициентом теплопроводности его ось совпадает с направлением градиента температуры в материале с коэффициентом теплопроводности

В соответствии с формулой (4.12) градиент температуры в эллипсоиде вращения равен Кроме того, поскольку отношение мало, из (4.16) приближенно получим

Таким образом, градиент температуры внутри эллипсоида вращения приблизительно равен

IV. Теплопроводность простой гранулированной среды.

Предположим, что в маточной породе с коэффициентом теплопроводности К размещаются шары с коэффициентом теплопроводности занимающие в ней часть объема а. Предполагается, что шары находятся настолько далеко друг от друга, что их взаимное влияние исключается. Допустив, что эти шары имеют радиус а, рассмотрим больший шар с радиусом в котором находится маленьких шаров так, что Согласно соотношению (4.3) температура на большом расстоянии, обусловленная наличием шаров, при линейном градиенте температуры будет равна

если средний коэффициент теплопроводности материала шара радиусом то эта температура должна также равняться

Приравнивая эти выражения, получаем

V. Установившийся поток в составной неограниченной области в области коэффициент теплопроводности равен в области он равен Граничные условия имеют вид

Если температуры в областях соответственно, то отсюда, как и в § 2 гл. V, следует, что

Если и таковы, что при тепловой поток в обеих областях стремится к то тепловой поток через плоскость равен

причем положительный знак берется, если а отрицательный — если Это указывает на наличие разрыва теплового потока на границе двух материалов.

VI. Решения в виде многочленов.

Известно, что многочлены первой, второй и т. д. степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Они могут оказаться полезными в простых задачах о составных областях. Например, многочлены

удовлетворяют уравнению Лапласа и следующим условиям:

и

Таким образом, они служат элементарным решением для составной области, в которой материал справа от плоскости имеет коэффициент теплопроводности а материал слева от нее — коэффициент Изотермы имеют вид дуг равнобочных гипербол.