ГЛАВА VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

§ 1. Введение

Лучше всего исследованы трехмерные задачи теплопроводности для областей, ограниченных координатными поверхностями прямоугольной, цилиндрической и сферической систем. В случае радиального потока тепла в цилиндрах и сферах решение содержит лишь одну пространственную переменную и время; такие задачи рассматриваются в гл. VII и IX. В настоящей главе и в гл. VIII мы обсудим задачи для прямоугольного параллелепипеда и ограниченного цилиндра, т. е. задачи, в которых приходится рассматривать две или большее число пространственных переменных. Поскольку решения можно найти несколькими различными путями, на данном этапе желательно рассмотреть различные методы и соотношение между ними.

1. Наиболее просты и в то же время наиболее важны для нас задачи, решения которых можно выразить, как и в § 15 гл. I, в виде произведения решений одномерных задач.

Основным является случай, когда начальная температура равна единице и температура поверхности равна нулю (или происходит теплообмен со средой нулевой температуры); решив эту задачу, легко найти решение для случая нулевой начальной температуры и температуры поверхности, равной единице, а использовав теорему Дюамеля, ние для температуры ловерхности, равной

2. Используя кратные ряды Фурье или их обобщения, можно исследовать случай произвольных начальных и поверхностных температур.

3. Использование функции Грина (см. гл. XIV) также позволяет найти полное решение общей задачи для произвольной начальной и поверхностной температур. Для простых случаев, указанных в пункте 1, после некоторого упрощения получается такое же решение. Кроме того, применяя функцию Грина, легко найти решения для случая, когда количество тепла, выделяющееся в твердом теле в единицу времени, является заданной функцией положения и времени.

4. Непосредственное применение метода преобразования Лапласа (см. § 11 гл. XV) особенно полезно тогда, когда некоторые из граничных поверхностей поддерживаются при температурах, являющихся простыми функциями времени, В таких случаях результаты, найденные методами 2 и 3 (и методом 1, если температура поверхности непостоянна) в виде интегралов, можно получить суммированием частных решений.

В настоящей главе мы применим первые два из приведенных выше методов к задачам для прямоугольного параллелепипеда. Кроме того, в § 5 гл. XIV и § 11 гл. XV мы рассмотрим аналогичные задачи другими методами.

Теплопроводность в твердых телах простой геометрической формы, например тел в виде прямоугольного параллелепипеда и ограниченного цилиндра, представляет большой интерес, поскольку такие твердые тела часто встречаются на практике (мясные консервы, ящики с фруктами). В более старых методах определения теплопроводности плохих проводников также использовались образцы в виде куба, сферы и ограниченных цилиндров; описанный выше метод для стержня непригоден, поскольку количество тепла, теряемое в результате теплообмена с поверхности плохо проводящего стержня, может оказаться больше потери тепла вдоль стержня.