§ 10. Область, ограниченная двумя параллельными плоскостями
Приведем сначала несколько изображений для температуры, обусловленной действием мгновенного точечного источника, которые являются основными при рассмотрении задач в цилиндрических областях.
Распределение температуры в неограниченной среде, обусловленное действием единичного источника в точке 
записывается следующим образом:
где
координаты точек 
и 
в полярной системе. Используя (6) приложения 5, получим
или
или
где
При решении различных задач в цилиндрических областях изображения и (10.4) и (10.5) оказываются весьма полезными. Здесь нам потребуется только последнее.
I. Плоскости имеют температуру, равную нулю.
Рассмотрим плоскости 
Определим температуру в точке 
обусловленную действием в момент времени 
единичного мгновенного точечного источника в точке 
Ищем, как обычно, решение в виде 
где 
должно удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности и обращаться при 
в нуль. Кроме того, оно должно быть таким, чтобы 
удовлетворяло граничным условиям. Вспомогательное уравнение для 
имеет вид
Ему удовлетворяет функция
где 
произвольные функции 
Они должны быть выбраны таким образом, чтобы 
равное сумме выражений (10.5) и (10.8), обращалось при 
в нуль. Следовательно,
Используя эти значения и выражение (25) приложения 3, мы получим для 
соотношение
Если 
то решение имеет тот же вид, но 
меняются местами. Для того чтобы по 
найти 
можно идти двумя путями. В первом случае мы представляем интеграл (10.9) в виде
и вычисляем его путем замыкания контура интегрирования дугой большой окружности в правой полуплоскости. Подынтегральная функция имеет полюсы при 
где 
Находя вычеты относительно них, окончательно получим
Используя (23) приложения 5 и соотношение (2.6) гл. XII, находим
Отыскивая решение другим путем, можно написать функцию, изображение которой имеет вид
в любой из двух следующих форм:
или
Допуская, что порядок интегрирования и обращения изображения в соотношении (10.9) можно изменить, и используя для интегрирования по 
форму (10.14) и соотношение (29) приложения 3, снова получим решение (10.12). С другой стороны, аналогичное использование формы (10.15) дает следующее выражение:
которое можно получить непосредственно в виде бесконечного ряда изображений в плоскостях 
Равнозначность форм (10.14) и (10.15) дает другое доказательство справедливости этого решения, которое уже упоминалось в § 10 гл. X.
II. Теплообмен на плоскостях 
со средой, температура которой равна нулю.
Этот случай можно рассматривать аналогичным образом. Решение для случая единичного мгновенного источника в точке 
действующего в момент времени 
имеет вид
где 
положительные корни уравнения
III. Тепловые потока через плоскости 
равны нулю.
Решение для случая единичного мгновенного источника в точке 
действующего в момент времени 
имеет вид
или
Последнее соотношение можно получить из рассмотрения бесконечного ряда изображений. Следует отметить, что решение (10.18) нельзя получить, положив в формуле 
Совокупность источников, образующих в неограниченной среде прямоугольную решетку.
Если в решении (10.18) принять 
то мы получим температуру в точке 
обусловленную действием в точках 
ряда мгновенных точечных источников. Аналогичным образом температура, обусловленная действием бесконечной прямоугольной решетки мгновенных источников, расположенных в точках 
записывается в виде 
Соответствующие решения для расположения источников в трехмерном пространстве можно получить аналогичным путем. Для случая прямоугольной решетки линейных источников, параллельных оси у, интегрирование выражения (10.20) дает
