§ 15. Задачи, решения которых можно выразить в виде произведения решений более простых задач
Рассмотрим уравнение теплопроводности
для прямоугольного параллелепипеда
Для некоторых важных типов начальных и граничных условий его решением является произведение решений трех задач с одной переменной; таким образом, если последние известны, то можно сразу же написать и решение нашей задачи.
Предположим, что 
служит решением уравнения
с граничными условиями
где 
— постоянные, каждая из которых может быть равна нулю (таким образом, включены случаи нулевой начальной температуры и отсутствия теплового потока на поверхности); пусть начальные условия имеют «вид
Тогда решением уравнения (15.1) в области (15.2) при
и при граничных условиях
служит
При подстановке выражения (15.10) в уравнение (15.1) и при использовании (15.3) получим
При этом очевидно, что удовлетворяются начальные и граничные условия (15.7), (15.8) и (15.9).
Аналогичный результат остается справедливым и для случая комбинированного радиального и осевого потока тепла в сплошном или полом цилиндре. Дифференциальное уравнение (8.5) настоящей главы принимает вид
поскольку мы полагаем, что все величины не зависят от 
Предположим, что его нужно решить в области
Пусть 
служит решением уравнения
и
при граничных условиях
Пусть также 
служит решением уравнения
при граничных условиях
и
Тогда 
является решением уравнения (15.11) в области (15.12) при граничных условиях
и при начальном условии
Такой же прием может быть использован и для других областей, например в случае неограниченного прямого двугранного угла 
полуограниченного цилиндра и т. п. Соответствующие примеры будут приведены в § 6 гл. V, § 4 гл. VI и в § 4 гл. VIII. В случае анизотропного твердого тела с осями, выбранными таким образом, что дифференциальное уравнение имеет форму (18.4) (см. стр. 46), указанный метод остается применимым, если ограничивающие поверхности перпендикулярны осям.
Эти результаты имеют практическое значение, так как они позволяют очень легко получать численные значения температур в упомянутых выше твердых телах, если их начальная температура постоянна, а с поверхности, происходит теплообмен в среду с постоянной температурой [95, 96].
