§ 4. Полуограниченная область. Решения, получаемые из таблицы изображений

В данном случае вспомогательное уравнение (3.5) предыдущего параграфа имеет вид

где начальная температура. Для краткости запишем

В настоящей главе мы будем рассматривать главным образом задачи, в которых равно нулю; тогда (4.1) будет иметь вид

Если постоянно, то легко найти решение (4.1); если простая функция х, то легко получить решение уравнения (4.1) в явном виде; если она является произвольной функцией, то уравнение (4.1) следует решать методом вариации произвольных постоянных или каким-либо иным аналогичным методом; в конце концов получаются результаты, эквивалентные результатам, найденным в гл. II. Однако в настоящее время полагают, что лучше всего искать решения при помощи функций Грина, применению которых посвящена гл. XIV; в ней и будут рассматриваться эти решения.

Во всех случаях при функция а значит, и функция должны быть ограничены. Таким образом, из двух решений уравнения (4.1) или (4.3), следует использовать только второе.

Рассмотрим теперь различные граничные условия при Температура поверхности задана. Начальная температура равна нулю.

Предположим, что задана функция

и, следовательно,

Решение уравнения (4.3), конечное при и принимающее при значение будет иметь вид

1) Если где величина постоянная, то и решение (4.4) принимает вид

Из соотношения (8) приложения 5 следует, что

2) Если где любое положительное целое число, то, согласно (2) приложения 5,

В данном случае, в соответствии с (11) приложения 5, получим

(см. соотношения (5.5), (5.7) и (5.8) гл. II).

3) Если произвольная функция, то из (2.10) данной главы и (6) приложения 5 следует, что

Этот результат был уже получен ранее (см. (5.1) гл. II).

Таким же путем, воспользовавшись (19) приложения 5, можно найти решение для случая температуры поверхности, меняющейся по закону (соотношение (5.9) гл. II). Случай гармонического изменения температуры поверхности рассматривается в § 7 данной главы, а случай периодического изменения температуры поверхности — в § 5 гл. XV.

II. Граничное условие третьего рода.

Пусть начальная температура твердого тела равна нулю, а при оно нагревается вследствие теплообмена со средой, имеющей постоянную температуру Тогда граничное условие при запишется в виде

Граничное условие для вспомогательного уравнения имеет вид

а решение уравнения (4.3), удовлетворяющее условию (4.8), записывается следующим образом:

Тогда из соотношения (14) приложения 5 следует, что

III. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью (или идеальным проводником).

Соответствующие граничные условия рассмотрены в примере § 9 гл. I, однако решение задач подобного типа отнесено к данной главе, поскольку излагаемые здесь методы особенно удобны для этого. Обозначим через с удельную теплоемкость жидкости, через и — ее температуру, а через массу жидкости, соприкасающейся с единицей поверхности твердого тела.

1. Начальная температура твердого тела равна нулю, а начальная температура жидкости постоянна и равна V [16]. При температура поверхности твердого тела равна температуре жидкости. В данном случае для граничное условие при имеет вид и

Отсюда соответствующее граничное условие для вспомогательного уравнения запишется в виде

Тогда

где

Отсюда из выражения (13) приложения 5 получим

2. Та же задача, но начальная температура жидкости равна нулю и количество тепла, сообщаемое жидкости в единицу времени на единицу массы, равно постоянной величине В данном случае граничные условия при имеют вид и

Отсюда получаем

Следовательно,

где определяется равенством (4.10). Из выражения (15) приложения 5 следует, что

3. Та же задача, но между жидкостью и поверхностью твердого тела происходит теплообмен, причем в единицу времени жидкость отдает твердому телу количество тепла, равное произведению на разность температур между ними. Обозначая температуру жидкости через и, получим граничные условия при в виде

Дифференциальное уравнение для у надо решить при этих граничных условиях, причем начальная температура и равна V, а начальное значение у равно нулю. Для вспомогательного уравнения граничные условия, полученные из (4.13) и (4.14), имеют вид

Отсюда обычным путем находим

где К определяется (4.10), Если написать

то соотношение (4.16) принимает вид

и, согласно (13) приложения 5,

IV. Полу ограниченное твердое тело, внутри которого выделяется тепло. Для таких задач и, в частности, для весьма сложных случаев излагаемый метод особенно удобен. Этим путем можно получить все результаты, приведенные в § 11 гл. II. Для пояснения описанного метода мы приведем здесь несколько дополнительных результатов.

1. Область имеет нулевую начальную температуру. При происходит теплообмен со средой нулевой температуры. При в твердом теле в единицу времени на единицу объема выделяется количество тепла, равное где может равняться —1, 0, или любому положительному целому числу. В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид

при граничном условии

Используя изображение (2) приложения 5, получим соответствующее вспомогательное уравнение

при граничном условии

как всегда, при имеет конечное значение. Решение уравнения (4.21) при условии (4.22) имеет вид

Таким образом, используя (16) приложения 5, получим

Частный случай соответствующий выделению в единицу времени количества тепла, пропорционального дает грубое приближение, полезное в задачах, в которых велико выделение тепла в начальный момент (например, при гидратации цемента).

2. Область При поверхность поддерживается при нулевой температуре. области при в единицу времени выделяется постоянное количество тепла, равное . В данном случае вспомогательные уравнения имеют вид

и

Они должны быть решены при следующих условиях:

и

Решения уравнений (4.24), (4.25) и (4.26) имеют вид

Здесь четыре постоянные находят из четырех условий непрерывности (4.27). После вычисления этих постоянных можно записать решение. Например, градиент температуры на поверхности имеет изображение

и, следовательно, используя приложения 5, получим