§ 11. Полуограниченное твердое тело, внутри которого находится источник тепла

Для линейного теплового потока дифференциальное уравнение приведенное в гл. I, принимает вид

Здесь А — количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени, которое, вообще говоря, зависит от и Пока мы рассмотрим

только случай, когда А не зависит от В этом случае для решения уравнения (11.1) пригодны следующие три способа: 1) интегрирование истокообразных решений (см. гл. X и XIV); 2) использование преобразования Лапласа (см. гл. XII); 3) приведение уравнения (11.1) к однородной форме путем замены переменной. Первые два способа являются наиболее сильными. Здесь мы просто кратко проиллюстрируем третий способ и приведем ряд результатов, представляющих интерес в связи с тепловыделением в коре Земли, обусловленным радиоактивным распадом (см. §§ 13 и 14 данной главы). Некоторые дополнительные сведения изложены в § 4 гл. XII и в § 7 гл. XV. Следует отметить, что случаи, когда количество выделяющегося в единицу времени тепла является линейной функцией температуры, можно исследовать методами, приведенными в § 14 гл. I и в § 7 гл. XV.

Решение для случая зависимости количества выделяющегося в единицу времени тепла от времени можно получить, воспользовавшись теоремой Дюамеля (см. § 14 гл. I) для случая, когда это количество не зависит от времени; поэтому вполне достаточно рассмотреть последнее, хотя не так трудно найти точные решения для простых типов зависимости от времени.

1. В области начальная температура равна При в единице объема за единицу времени выделяется постоянное количество тепла Плоскость поддерживается при нулевой температуре. Здесь мы должны решить уравнение

при условиях

и

Положив

получим эти уравнения в виде

и

Из соотношения (4.1) следует, что

и, следовательно,

2. Условия те же, что и в задаче I, но количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единицу объема, равно В данном случае

3. Условия те же, что и в задаче но тепло выделяется только в слое В данном случае

и

Температурный градиент на поверхности равен следующей величине:

При определении температуры в коре Земли нужно помнить, что тепло выделяется только в поверхностном слое толщиной, меньшей чем и следовательно, в (11.5) I мало по сравнению с Поэтому, воспользовавшись теоремой Тейлора, мы можем разложить выражение (11.5) по степеням Тогда для температуры в слоях, расположенных ниже радиоактивного слоя [39], получим

Температурный градиент на поверхности приближенно равен

4. В области начальная температура равна нулю. В области при в единице объема за единицу времени выделяется постоянное количество тепла На поверхности тепловой поток отсутствует. В данном случае

Это также является решением для случая неограниченного твердого тела, в котором тепло выделяется в полосе толщиной 21.

5. В области начальная температура и температура на поверхности равны нулю. В области при количество тепла, выделяющегося

в единице объема за единицу времени, равно постоянной величине Температурный градиент на поверхности равен

6. В области начальная температура равна нулю, а количество тепла, выделяющегося в единицу времени в единице объема, равно При граница поддерживается при нулевой температуре. В данном случае

где символ означает, что берется действительная часть соответствующей функция. Вопрос о функции ошибок комплексного аргумента рассматривается в приложении 2.

7. В области начальная температура равна При в единицу времени выделяется количество тепла, равное На поверхности тепловой поток отсутствует [43, 44]. В данном случае