ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

В § 3 гл. XII отмечалось, что с точки зрения чистой математики решения, полученные методом преобразования Лапласа, являются по существу формальными; иными словами, различные операции, например перемена порядка дифференцирования и интегрирования, производятся без достаточного обоснования. Там же указывалась необходимость проверки того, что все полученные решения (для линейного потока) удовлетворяют дифференциальным уравнениям, а также начальным и граничным условиям.

Метод обоснования заключается в следующем. Во всех случаях мы ищем находим при помощи формулы обращения (см. (3.8) гл. XII)

где так велико, что все особые точки лежат слева от линии

Рис. 61.

В рассмотренных в настоящей книге задачах этими особыми точками служило конечное число полюсов и точек ветвления, а также, быть может, бесконечное число полюсов в изолированных точках на отрицательной вещественной полуоси. Таким образом, мы можем всегда выбрать новый путь интегрирования (рис. 61), который начинается в бесконечности в направлении проходит справа от начала координат и уходит в бесконечность в направлении причем все особые точки подынтегральной функции остаются слева.

Для функций с которыми мы встречались ранее, можно всегда показать, что

Для этого рассмотрим замкнутый контур на рис. 62, который состоит из отрезка линии из отрезка контура и из дуг и большой окружности с радиусом и с центром в начале координат. Внутри этого контура особые точки отсутствуют. Формула (2) следует из теоремы Коши, если в пределе, по мере того как интегралы вдоль дуг и стремятся к нулю. Рассмотрение подынтегральной функции показывает, что это справедливо в любом из специальных разобранных в данной книге случаев Таким образом, в этих случаях мы получаем

Рис. 62.

Далее можно показать, что интеграл (3) сходится равномерно по пространственной переменной в заданной области при фиксированном он сходится также равномерно по для при фиксированной пространственной переменной. Дифференцирование под знаком интеграла является законным и, таким образом, легко показать, что данное дифференциальное уравнение удовлетворяется. Аналогичным путем находят, что удовлетворяются начальные и граничные условия. Преимущество пути перед путем по прямой заключается в том, что в первом случае мы получаем множитель типа

где — положительная величина, содержащая пространственную переменную. Этот множитель обеспечивает требуемую равномерную сходимость. Если в соотношении (3) произвести замену переменной то мы должны будем производить интегрирование по пути (рис. 63), который начинается в бесконечности в направлении где и уходит в бесконечность в направлении

Рис. 63.

Очевидно, что интегралы вдоль указанного пути можно рассматривать таким же образом, как и интегралы вдоль пути и мы получим

В книге Карслоу [7] контурные интегралы этого типа считаются фундаментальными, и их использование позволило решить целый ряд задач. Следует отметить, что при этом применялся такой же метод, как и используемый здесь, но производилась указанная выше замена переменной.

Для обоснования метода с использованием функций Грина (см. гл. XIV) мы поступим таким же образом; правда, здесь мы должны лишь доказать, что

удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению и стремится к нулю при и что у удовлетворяет граничным условиям.

Окончательные формы решений, которые мы обычно давали, были представлены в виде рядов или интегралов путем использования контуров, изображенных на рис. 39 и рис. 40 соответственно. Проведенной вышэ проверкой мы установили, что соотношение (1) удовлетворяет всем условиям задачи, и для того чтобы окончательные решения оказались вполне строгими, необходимо тщательное обоснование приведения (1) к его конечной форме. Это требует доказательства того, что в пределе по мере стремления радиусов больших окружностей контуров к бесконечности (в случае необходимости набор значений радиусов может оказаться дискретным, так что окружности не проходят через полюсы подынтегральной функции) интегралы вдоль этих окружностей стремятся к нулю. Последнее положение можно доказать для всех приведенных здесь решений, используя изложенный выше анализ; дальнейшие подробности можно найти в приведенной литературе.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)