§ 2. Неограниченное твердое тело прямоугольного сечения. Установившаяся температура

Вместо того чтобы брать задачу Фурье в том виде, в каком он ее решает, рассмотрим твердое тело, ограниченное плоскостями которые поддерживаются при нулевой температуре, и плоскостью которая поддерживается при температуре Предположим, что функция ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле в интервале

Уравнения теплопроводности в этом случае имеют вид

Кроме того,

Начиная с разложения в ряд по синусам

где

рассмотрим функцию V, определяемую уравнением

Так как ограниченная функция, интегрируемая в интервале то из (2.5) следует, что

Кроме того,

где произвольное положительное число.

сходится, и его члены не зависят от

Таким образом, ряд (2.6), рассматриваемый как функция х, равномерно сходится в любом интервале когда Если же его рассматривать как функцию у, то он равномерно сходится при

В этих интервалах сходятся также ряды, получаемые из ряда (2.6) почленным дифференцированием по х и у.

Таким образом,

и

Следовательно,

и ряд (2.6) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1). Кроме того, он удовлетворяет граничным условиям на плоскостях Действительно, ряд (2.6) равномерно сходится в интервале и его сумма равна нулю, когда поэтому при положительном у предел при х, стремящемся к этим значениям, равен нулю.

Мы предположили, что функция ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле в х нтервале Отсюда следует, что ряд (2.4) сходится и его сумма равна в каждой точке между и в которой непрерывна, и во всех других точках. Из рассуждений, изложенных в § 73 книги Карслоу [1], следует, что если определяется рядом (2.6), то в тех точках, где функция непрерывна, и равен во всех других точках.

Таким образом, ряд (2.6) служит решением нашей задачи; его можно записать в виде

поскольку ряд под интегралом равномерно сходится.

Если равно единице, то решение (2.6) принимает вид

т. е.

Сопряженная гармоническая функция с (2.11), т. е. действительная часть логарифма в (2.10), имеет вид

Отсюда следует, что линии тока определяются уравнением

они ортогональны изотермам [2]

Соответствующая задача, но при наличии теплообмена с одной или с двух поверхностей рассматривается, как и в § 3 настоящей главы.

Рассмотрим теперь задачу об установившейся температуре в теле с сечением виде полосы и с граничными условиями

Здесь мы используем интеграл Фурье (3.8), приведенный в гл. II, вместо ряда по синусам, который был использован выше. Отметим, что при любом функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1) и граничным условиям (2.14) и (2.15).

Таким образом, интеграл

где произвольная функция, также удовлетворяет этим условиям. Если, кроме того, (2.16) удовлетворяет (2.13), то мы получим

Отсюда, используя (3.9) гл. II, находим

Подставляя это значение в (2.16), получим решение нашей задачи в виде

Если мы предположим, что можно изменить порядок интегрирования, то

т. е.

Ясно, что задачи при наличии теплообмена на поверхностях или можно рассматривать тем же способом (ср. следующий параграф). Однако приведенный выше анализ, из которого следует соотношение (2.18), нужно считать формальным и не вполне безупречным; не только изменение порядка интегрирования но и применение (5.8) гл. II налагает жесткие ограничения на функцию На самом деле они не необходимы, и более детальное рассмотрение [3] показывает, что (2.18) справедливо при условии, что является функцией экспоненциального вида, т. е. , где — положительные постоянные.

Два других важных результата можно формально вывести аналогичным образом, используя интеграл Фурье.

Рассмотрим тело с сечением в виде неограниченной полосы граничные поверхности поддерживаются при температурах и нуль соответственно. Тогда установившаяся температура равна

Для случая, когда сечение тела имеет вид полуплоскости а граничная поверхность поддерживается при температуре установившаяся температура равна