§ 10. Метод изображений. Линейный тепловой поток

Метод изображений, играющий столь важную роль в математической теории электричества, целиком применим и к решению задач теплопроводности, если твердое тело ограничено плоскостями, находящимися при нулевой температуре. Мысленно продолжим твердое тело неограниченно во все стороны и методом изображений найдем распределение источников и стоков, обеспечивающее нулевую температуру на границах тела. Аналогичный метод применим и тогда, когда тепловой поток через граничные плоскости отсутствует.

В гл. XIV мы увидим, что особую важность при решении общей задачи теплопроводности для такого твердого тела имеет функция Грина, т. е.

функция, описывающая распределение температуры, вызванное единственным источником, в теле с заданными граничными условиями. Для некоторых задач метод изображений служит одним из методов определения функции Грина.

Положение изображений не зависит от того, рассматриваются ли точечные, линейные или плоские источники, параллельные отображающей граничной плоскости. В данном параграфе будут рассмотрены плоские источники; аналогичные формулы для точечных источников будут приведены в § 10 гл. XIV.

I. Полуограниненное тело Начальная температура равна Температура на границе равна нулю.

Рассмотрим на плоскости источник мощностью Будем считать, что начальная температура тела обусловлена распределением таких источников вдоль положительной части оси х.

К источнику мощностью на плоскости х мы присоединяем сток мощностью помещенный в Тогда оба они дадут на плоскости нулевую температуру. Следовательно,

И. Твердое тело ограничено плоскостями а. Начальная температура Граничные плоскости поддерживаются при нулевой температуре.

Рассматривая на плоскости х источник мощностью мы взять его изображения от плоскости и комбинировать источники и стоки так, чтобы граничные плоскости находились при нулевой температуре. Таким образом, мы получим источники в точках и стоки в точках где любое положительное или отрицательное целое число или нуль. Тогда окончательно получим

В § 3 (см. (3.5) гл. III) в подобном же случае мы получили для другое выражение, а именно

При это последнее можно записать в виде

(См. подстрочное примечание на стр. 99.)

Тождественность этих решений может быть доказана несколькими путями:

1) использованием свойств тэта-функций [30, 31]; 2) с помощью преобразования Лапласа; в этом случае решения типа (10.3) получаются в результате применения теоремы обращения, а решения типа (10.2) — в результате разложения изображения в ряд по отрицательным степеням показательных

функций (см. § 10, гл. XIV, где этот результат получен при рассмотрении точечного источника между параллельными плоскостями); 3) с помощью следующей теоремы:

Если четная функция х, которую можно разложить так же, как и функцию в ряд Фурье по косинусам углов, кратных углу , то

при условии, что интегралы и ряд сходятся.

Так как

и

и

то

Пусть тогда

Отсюда

и

Принимая во внимание (10.4) и (10.5), получим решение уравнения (10.2) в виде

III. То же тело. Начальная температура равна нулю. Граница поддерживается при температуре граница при температуре, равной нулю.

Поместим в плоскости непрерывный дублет мощностью (см. (8.6) данной главы). Если бы тело было неограниченным, то при наличии такого дублета плоскость поддерживалась бы при температуре Для того чтобы плоскость находилась при нулевой температуре, необходимо поместить дублет той же мощности в плоскости

Таким образом, в точках располагаются дублеты мощностью где нуль или любое положительное или отрицательное целое число.

Следовательно,

Соответствующий результат можно получить и для случая, когда граница находится при нулевой температуре, а граница при температуре Складывая эти решения, приходим к иной форме решения задачи, приведенной в § 5 гл. III.

IV. Полу ограниченное твердое тело Начальная температура На границе тепловой поток отсутствует.

Поступим здесь, как и в примере I, но, принимая во внимание отсутствие теплового потока при рассмотрим совместно источник мощностью в точке — х и источник той же мощности в точке х.

Тогда

V. Твердое ограниченное плоскостями Накальная температура равна На границе тепловой поток равен нулю. Плоскость а поддерживается при нулевой температуре.

Поступая здесь так же, как и в примере И, рассмотрим источники в плоскостях и стоки в плоскостях

В результате получим