§ 3. Область [0, l]. Границы поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура f(x)

Задача сводится к решению дифференциального уравнения

при условиях

и

Если начальное распределение представляется в виде

то ясно, что выражение

будет удовлетворять всем условиям (3.1), (3.2), (3.3) нашей задачи.

Предположим, что начальная температура представляет собой ограниченную функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле [1] в интервале ( следовательно, ее можно разложить в ряд

где

Рассмотрим теперь функцию определяемую бесконечным рядом

Благодаря присутствию множителя этот ряд равномерно сходится в любом интервале х при Если рассматривать его как функцию то мы увидим, что он равномерно сходится при 0, где некоторое положительное число.

Таким образом, в указанных интервалах функция определяемая рядом (3.5), является непрерывной функцией как от х, так и от

Легко показать, что ряды, полученные почленным дифференцированием ряда (3.5) по также равномерно сходятся в указанных интервалах Таким образом, они равны производным от

Следовательно,

и

при

Итак, уравнение

удовлетворяется во всех точках стержня при функцией, определяемой рядом (3.5).

Посмотрим теперь, удовлетворяет ли данная функция граничным и начальным условиям.

Рассматриваемый нами ряд равномерно сходится относительно х в интервале при и поэтому он служит непрерывной функцией х в данном интервале.

Таким образом,

и

Следовательно, граничные условия удовлетворены.

Что же касается начальных условий, то мы можем воспользоваться обобщением теоремы Абеля [1].

Пусть функция ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле в интервале Тогда ряд синусов для

сходится и его сумма равна в каждой точке между и где непрерывна; во всех остальных точках эта сумма равна

Из обобщения теоремы Абеля следует, что если определено рядом (3.5), то

в точках, где функция непрерывна; во всех остальных точках

Таким образом, мы доказали, что если начальная температура удовлетворяет условиям Дирихле, непрерывна в интервале то функция, определяемая (3.5), удовлетворяет всем условиям нашей задачи. Если начальная температура имеет разрывы непрерывности, то в точках разрыва функция, определяемая (3.5), стремится к при При сколь угодно малом, но не равном нулю функция уже

не будет иметь разрыва в указанной точке и кривая температуры будет проходить вблизи точки

Следует помнить, что физическая задача в том виде, в каком мы сформулировали ее для разрывного распределения температур на концах стержня или в самом стержне, представляет собой идеализированный случай. В действительности же в начальный момент в стержне не может быть прерывного распределения температуры. Решая физическую задачу, мы должны предположить, что происходит мгновенное изменение температуры в стержне в момент, когда мы начинаем измерения в непосредственной близости от точки разрыва или от концов стержня (если они являются точками разрыва). Разрыв температур, таким образом, сглаживается. Наше решение поставленной математической задачи удовлетворяет приведенным выше условиям и можно считать, что оно соответствует и измененной нами физической задаче.

Представляют интерес следующие частные случаи.

1. Пластина с постоянной накальной температурой, т. е. Тогда

2. Линейное начальное распределение в пластине т. е. Тогда

Обычно выгоднее использовать результаты, полученные для пластины (симметричный случай), так как тогда можно непосредственно сравнивать их с аналогичными результатами для сферы и цилиндра. Кроме того, обычно для малых значений например для такие ряды, как (3.6) и (3.7), сходятся медленно, но ниже будет показано (см. § 5 гл. XV), что для подобных значений аналогичные ряды с функциями ошибок или их интегралами сходятся быстро. Для удобства упомянутые ряды будут рассмотрены здесь (см. (3.9) и (3.11)), а их производные мы рассмотрим в § 5 гл. XII. Все результаты, приводимые ниже, справедливы также и для пластины если при тепловой поток отсутствует, а плоскость поддерживается при температуре, равной нулю.

3. Пластина с постоянной начальной температурой, равной Перенося начало координат в выражении (3.6) в среднюю точку пластины и заменяя на получим

или

Некоторые численные результаты, найденные при решении этой задачи, приведены на рис. 10, а и 11. Средняя температура в пластине в момент времени равна

или

Количество тепла, приходящееся на единицу площади в момент времени равно Данные об этой величине часто используются для определения коэффициентов температуропроводности [4].

Рис. 10. Распределение температур в пластине в отсутствие теплового потока при нулевой температуре при и различных начальных распределениях температуры. а) Постоянная начальная температура; б) линейное начальное распределение температуры (см. пункт 4); в) начальное распределение температуры параболическое начальное распределение температуры (см. пункт 5). Числа на кривых указывают

Тепловой поток на поверхность равен следующей величине:

или

Это решение было использовано при определении для составляющих земной коры [5]; кроме того, оно применялось при исследовании металлических стержней; при этом

определяли разность температур в стержне между точками Точки были выбраны таким образом, что

В этом случае второй член ряда, полученный из (3.8) для разности температур, обращается в нуль, а третий член ряда, содержащий множитель очень быстро исчезает.

4. Область с начальной температурой а температурой поверхности, равной нулю. В этом случае

или

5. Область с начальной температурой и температурой поверхности, равной нулю В этом случае

«или

6. Область — с начальной температурой и температурой поверхности, равной нулю. В этом случае

Приведенные выше решения представляют значительный интерес, так как они дают качественное представление о том, как отводится тепло из пластины при заданном начальном распределении температуры. Из соотношения (3.5) следует, что в первую очередь исчезают более высокие гармоники в ряде Фурье для оставляя основную гармонику, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону. Это фактически подтверждается и соотношением (3.18). На рис. 10 показано уменьшение температуры для четырех различных начальных распределений температур, а именно: для постоянного, линейного, «линейное постоянное» и параболического распределения. Как мы видим, тепло отводится таким образом, что распределение температур приблизительно косинусоидально. Для случая постоянной начальной температуры тепло сначала отводится из области вблизи поверхности; при линейном распределении температур — из области вблизи центра; при «линейном постоянном» — как из центра, так и с поверхности.