§ 11. Шар с начальной температурой ... Температура поверхности r=a равна нулю
В этом случае дифференциальные уравнения для 
имеют вид
Положим 
где а — функция только 
и положим 
Тогда из (11.1) получим
Полином Лежандра степени 
где 
целое и положительное число, служит коэффициентом при 
в разложении 
и удовлетворяет уравнению Лежандра
Таким же образом присоединенная функция Лежандра [29—33]
удовлетворяет уравнению
Отсюда следует, что выражение
удовлетворяет уравнению (11.4) при условии, что 
зависит только от 
и что
Это приводит нас к выражению
причем решение 
неприемлемо, поскольку при 
стремится к бесконечности.
Таким образом, мы приходим к следующему решению уравнения (11.1):
где 
целые положительные числа.
Условия на границе удовлетворяются выражением (11.9), если а служит корнем уравнения
Если, как и выше, принять, что функцию 
можно разложить в ряд, члены которого имеют вид
и что этот ряд можно почленно интегрировать, то легко найти коэффициенты разложения.
Пусть, например,
и суммирование 
происходит по положительным корням уравнения (11.10). Тогда
Кроме того, мы знаем, что [29, 30, 32]
и
Отсюда
Наконец, из (5.2) гл. VII получаем
Если 
то в этих формулах 
следует заменить на 
Коэффициент 
можно найти аналогичным путем.
Итак, мы получаем решение нашей задачи в виде
Здесь коэффициенты Апта и Впта определены выше, а суммирование по а происходит по положительным корням уравнения 
При наличии теплообмена на поверхности или при отсутствии через нее теплового потока задачи решают тем же путем, используя соответствующим образом измененное уравнение (11.10).
