§ 8. Дублеты

В § 2 настоящей главы мы видели, что выражение

где

служит решением уравнения теплопроводности.

Отсюда следует, что

также будет его решением.

Это решение можно получить, комбинируя источник мощностью в точке и сток мощностью в точке и переходя к пределу при При этом надо положить, что

Если воспользоваться соотношением (8.2), то температура в точке обусловленная совместным действием источника и стока, запишется в виде

Переходя к пределу, получим решение (8.3). Такое распределение температуры называют распределением, обусловленным действием мгновенного точечного дублета мощности помещенного в точке ось которого параллельна оси х. Аналогичным образом, дифференцируя по у или мы приходим к точечным дублетам с осями, параллельными этим направлениям; частные производные более высоких порядков дают также решения уравнения теплопроводности.

Точно так же, исходя из мгновенного линейного источника (см. (3.1) данной главы), мы получаем для температуры, обусловленной действием мгновенйого линейного дублета, находящегося в точке с осью, параллельной оси х, соотношение

Согласно (3.4) данной главы, в случае линейного теплового потока температура, обусловленная действием мгновенного дублета, помещенного в точке х, записывается в виде

Теперь легко перейти к рассмотрению непрерывного дублета переменной или постоянной мощности. Например, в случае линейного теплового потока температура, обусловленная действием непрерывного дублета мощностью находящегося в точке х, определяется формулой

Вводя подстановку получим

и

Таким образом,

и

Отсюда следует, что в точке имеет место разрыв температуры величиной Поэтому в случае линейного потока в полуограниченном твердом теле температуру плоскости при можно поддерживать равной помещая на эту плоскость непрерывный дублет мощностью (см. соотношение (5.1) гл. I).

Решение двумерной задачи, когда плоскость находится при температуре можно получить, поместив непрерывный дублет с осью,

параллельной оси х, и мощностью в точку и интегрируя вдоль оси у. Соответствующий результат легко получить и для трехмерной задачи, когда температура плоскости поддерживается равной соотношение (9.3) гл. XIV).