§ 2. Преобразование Лапласа. Основные свойства

Ниже везде будет рассматриваться температура являющаяся функцией и любых координат (например, встречающихся в задаче. Запишем

где величина, действительная часть которой положительна и достаточно велика, чтобы интеграл (2.1) сходился.

Интеграл (2.1) называют преобразованием Лапласа функции и он является функцией и пространственных переменных Из двух приведенных обозначений символ удобен при формулировке теорем, тогда как символ достаточно компактен и удобен при проведении алгебраических, выкладок, связанных с нахождением решения.

Аппарат описываемого метода состоит из нескольких элементарных теорем и таблицы преобразованных по Лапласу функций, т. е. интегралов

Например,

или

В приложении 5 приведено большинство преобразованных по Лапласу функций, которыми пользуются при решении задач теплопроводности.

Необходимые нам для дальнейшего теоремы приведены ниже. В большинстве случаев мы дадим только краткие доказательства без точной формулировки условий. Точные условия нам здесь не нужны, поскольку, как отмечено в следующем параграфе, на этой стадии проводится только формальный анализ, а полученные результаты обязательно подлежат проверке. Теорема

Теорема II.

где значение В общем случае будет функцией пространственных переменных Формула (2.2) непосредственно получается при интегрировании по частям; действительно

Теорема III.

При других пространственных переменных мы получаем аналогичные результаты. Найденный результат эквивалентен соотношению

Мы считаем функцию такой, что указанным способом можно менять последовательность операций интегрирования и дифференцирования.

Приведенные выше три теоремы имеют очень большое значение. В дополнение к ним мы укажем ряд полезных результатов, на которые мы также будем изредка ссылаться.

Теорема IV.

ибо интегрирование по частям дает

Теорема Если является величиной постоянной и положительной, а

ибо

Теорема VI. Если а является величиной постоянной (даже комплексной), то

ибо

Теорема VII. Если где единичная функция Хевисайда, определяемая следующим образом:

то

Теорема VIII. Если является периодической функцией с периодом то

ибо

Теорема IX. Теорема Лерха, или теорема единственности. Пусть для всех тогда для всех при которых они непрерывны. Если же функции имеют только

разрывы первого рода, то в этих точках они могут отличаться друг от друга.

Теорема

Эта теорема известна как теорема о свертке, а также как теорема Дюамеля. Она представляет собой другую форму записи теоремы Дюамеля, приведенной в § 14, гл. I с использованием принятых в данной главе обозначений.

Теорема XI. Если

то