§ 6. Неограниченный цилиндр с температурой поверхности ... и начальной температурой f(r)

Рассматривая вначале случай начальной температуры, равной и температуры поверхности, равной нулю, получим

где положительные корни уравнения

Умножим обе части уравнения (6.1) на и проинтегрируем от 0 до а; тогда, используя соотношения (5.1) и (5.2) предыдущего параграфа, а именно

где учитывается, что находим

Следовательно,

В случае постоянной начальной температуры, интеграл в (6.4) вычисляется с помощью (5.5). В результате имеем

Используя еще раз находим среднюю температуру цилиндра; она равна

Пусть мы имеем параболическое начальное распределение температуры, например

тогда, интегрируя по частям и используя (5.5), находим

Итак, воспользовавшись этим результатом, мы получим вместо (6.4) соотношение

Если начальная температура цилиндра равна нулю и при его поверхность поддерживается при постоянной температуре V, то решение, полученное в результате вычитания (6.5) из V, имеет вид

При расчетах удобнее использовать безразмерные переменные. Поэтому запишем

тогда (6.8) принимает вид

где теперь корни уравнения

Первые несколько корней этого уравнения приведены в приложении 4 (табл. 3, при первые пятьдесят корней с соответствующими значениями можно найти в [25].

Рис. 24. Распределение температур в различные моменты времени в цилиндре радиуса а для случая нулевой начальной температуры и температуры поверхности, равной Числа на кривых указывают величины

На рис. 24 приведены графики зависимости от (при разных значениях определяемой соотношением (6.10). Полученные кривые очень похожи на соответствующие кривые для пластины, показанные на рис. 11; и действительно [32, 33], можно найти такие значения для пластины толщиной 2а, что распределение температуры в цилиндре в момент времени окажется очень близким к распределению температуры в пластине в момент времени Температура на оси цилиндра и зависимость средней температуры цилиндра от приведены на рис. 12. Ряд (6.10) очень быстро сходится при любых значениях (кроме очень малых). Соответствующие решения, пригодные для расчетов при малых приводятся в § 3 гл. XIII.

Если начальная температура цилиндра равна нулю, а температура его поверхности равна то решение, полученное методом

Дюамеля (см. § 14 гл. I) из (6.8), имеет вид

Если начальная температура равна нулю и температура поверхности равна то

Если начальная температура равна нулю и температура поверхности равна то

Здесь первый член можно считать решением задачи для установившегося периодического состояния, второй — для неустановившегося состояния. Напишем

и тогда первый член решения (6.14) примет вид