§ 14. Пластина с внутренним источником тепла

Если в единицу времени на единицу объема выделяется количество тепла, равное то дифференциальное уравнение имеет вид

Наиболее важен случай при который наблюдается при диэлектрическом нагреве. Распространение на случай зависимости А от места или времени легко выполнить тем же методом, как и в § 14 гл. I и § 6 гл. XII. Как отмечалось в § 6 гл. I, в общем случае, когда А является функцией от аналитическое решение найти нельзя. В § 7 гл. XV рассматривается случай линейной зависимости между Здесь мы воспользуемся методом, изложенным в § 14 гл. I; можно также применить преобразование Лапласа.

1. Область с нулевой температурой поверхности нулевой начальной температурой. При количество тепла, выделяемое в единицу времени, постоянно а равно Поступая так же, как в задаче I § 14 гл. I, отметим, что

удовлетворяет всем условиям задачи; тогда выражение (14.2) служит решением для случая установившейся температуры. Подставим теперь

в уравнение (14.1), причем должно удовлетворять уравнению

с граничными условиями при

и

Рис. 20. Температура в пластине — при данном распределении источников постоянной мощности и нулевой температуре поверхности. Числа на кривых указывают значения

Решение уравнения (14.4) при выполнении условий (14.5) и (14.6) было дано в § 3 данной главы. Если использовать все эти соотношения, то выражение (14.3) примет вид

и, развивая вывод (3.17), мы получим решение для малых значений времени (см. пункт V § 5 гл. XII, где приведен соответствующий результат для выделения количества тепла в единицу времени, равного причем может равняться или любому целому положительному числу) в виде

На рис. 20 приведены некоторые значения для различных значений Следует отметить, что приближенные результаты для случая, когда на поверхностях происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру легко получить из рис. 20 путем простой замены на

2. Если количество выделяемого в единицу времени тепла не остается стоянным, а равно то из выражения (14.7) и теоремы Дюамеля (см. стр. 38)·

следует, что

3. Если количество выделяемого в единицу времени тепла является функцией положения то

Другая форма для случая установившейся температуры имеет вид

Задачу о нагревании при помощи вихревых токов можно рассматривать аналогичным образом. В этом случае количество выделяемого в единицу времени тепла пропорционально здесь и проницаемость и электропроводность вещества соответственно, а -частота [46]. При очень высоких частотах тепло почти все сосредоточивается близ поверхности и в этом случае можно использовать результаты § 8 данной главы.

4. Область с нулевой начальной температурой. На границах происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. При количество выделяемого тепла постоянно и равно Здесь вместо подстановки (14.3) используем подстановку

где первый член в правой части уравнения представляет собой решение для случая установившейся температуры. Поступая, как и в пункте 1, и используя соотношение (10.8) данной главы, получим

где положительные корни уравнения В обозначениях, принятых в § 11 (см. (11.4) и (11.5)), температуры при равны соответственно

5. Область с нулевой начальной температурой. На границе при поддерживается нулевая температура. На границе происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. При количество выделяемого тепла постоянно и равно В данном случае

где положительные корни уравнения Температуру на границе можно выразить через определенные в § 11 настоящей главы.

6. Пластина с начальной и поверхностной температурами, равными нулю. При количество тепла, выделяемое в единицу времени,

равно . В данном случае

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)