§ 15. Кольцо Фурье
Одной из наиболее простых и показательных задач теплопроводности, в которых температура зависит только от одной координаты и от времени, является задача Фурье для кольца. Эта задача особенно интересна еще и потому, что к ней Фурье
впервые применил свою математическую теорию и для нее результаты математических исследований были сравнены с данными эксперимента [75].
Кольцо представляет собой тело малого поперечного сечения, согнутое по окружности (или по другой замкнутой кривой). Используя обозначения и предположения, принятые в § 2 настоящей главы, мы видим, что дифференциальное уравнение температурного поля в кольце имеет вид уравнения (2.4), а именно:
Пусть длина окружности кольца равна 21; тогда, выбрав начало координат в некоторой подходящей точке, мы можем решать уравнение (15.1) в области 
Поскольку кольцо образует замкнутую кривую, мы не имеем граничных условий при 
но зато 
должно быть периодической функцией х с периодом 
т. е.
I. Начальная температура 
Теплообмен отсутствует.
Предположим, что 
можно разложить в ряд Фурье
Тогда
удовлетворяет всем условиям задачи. Это можно доказать так же, как и в § 3 гл. III.
Решение для случая теплообмена легко получить путем подстановки 
в уравнение (15.1).
II. Установившаяся температура; плоскости 
поддерживаются при температуре 
В этом случае распределение температур должно быть четной функцией х, которая при 
принимает значение V и удовлетворяет уравнению (15.1) при 
Тогда решение имеет следующий вид:
где
Это выражение можно использовать для сравнения коэффициентов теплопроводности [75] двух твердых тел при помощи метода, аналогичного методу, приведенному в § 5 данной главы.
III. Кольцо с установившейся температурой, определяемой (15.5), охлаждающееся в результате теплообмена со средой нулевой температуры.
Положив в уравнении 
будем искать решение уравнения
в виде периодической функции с периодом 21 и следующим начальным значением:
Используя соотношение (15.4), находим решение в виде
Соотношение (15.9) можно использовать для определения 
из данных о температуре при 
[31, 76].
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
