§ 2. Линейный тепловой поток. Полуограниченное твердое тело

I. Начальное распределение температур Температура на границе поддерживается равной

В данном случае функция Грина описывает температуру в момент времени в плоскости х, обусловленную распределением единичных плоских мгновенных источников, расположенных в плоскости х в момент ; она имеет вид (ср. пример I § 10 гл. X)

В таком случае, делая небольшие изменения в формуле (1.3) предыдущего параграфа, получим температуру в плоскости х в момент в виде

что согласуется с решением, приведенным в § 5 гл. II.

II. Единичный плоский мгновенный источник в плоскости в момент времени Теплообмен на плоскости со средой нулевой температуры.

Будем исходить из решения для единичного мгновенного источника в плоскости в момент времени в неограниченной среде. Оно имеет вид

Решение нашей задачи будем искать в форме

где удовлетворяет уравнению теплопроводности при и обращается в нуль при Решение будет таким, что

Применим преобразование Лапласа. Из (7) приложения 5 следует, что

где, как обычно, Вспомогательное уравнение для имеет вид

Его решение, ограниченное при имеет вид и следовательно,

где А — постоянная, подлежащая определению из условия

Таким образом, мы получим

Воспользовавшись (7) и (13) приложения 5, находим

Последний член в этом соотношении можно переписать в виде

Он дает распределение температур, обусловленное действием стоков, распределенных вдоль прямой от до

Область с начальным распределением температур Теплообмен на поверхности со средой с температурой

Из решения (2.6) и из соотношения (1.3) предыдущего параграфа следует, что