§ 6. Последовательные преобразования

В задачах с несколькими переменными можно достичь большой экономии в используемых обозначениях путем последовательного применения интегральных преобразований относительно этих переменных. Можно либо сначала использовать преобразование Лапласа по времени с последующим применением других интегральных преобразований относительно координат, либо использовать последовательные интегральные преобразования относительно координат.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим уже решенную задачу VIII § 11 гл. XV, которая использована в качестве примера в работе [18], а именно задачу о теплопроводности в клине с начальной температурой, равной нулю, и температурой поверхности, равной единице.

Здесь следует решить уравнение

при условиях

Обозначим через конечное синус-преобразование функции относительно ; тогда, согласно соотношению (5.3) данной главы, удовлетворяет уравнению

где

Обозначим через преобразование Ганкеля порядка функции тогда, согласно (2.15) этой главы, удовлетворяет уравнению

поскольку 16]

Решение уравнения (6.6) при условии когда имеет вид

Обращая с помощью (2.14) преобразованную по Ганкелю функцию и используя (6.5) и (6.7), находим

Наконец, производя с помощью (5.2) обращение конечного синус-преобразования, получим

Мы пришли к решению (11.24) гл. XV. Интересно сравнить оба метода. В обоих случаях время, затрачиваемое на вычисления, примерно одинаково. Оба метода требуют знания интеграла (6.7). Однако если в методе, изложенном в § 11 гл. XV, предполагается, что для решение имеет вид (11.21) той же главы, то изложенный здесь метод применяется непосредственно без каких-либо предположений.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)