§ 5. Практические задачи

Как отмечалось в § 1 данной главы, в технических и лабораторных задачах области с установившимся тепловым потоком значительно сложнее областей, рассмотренных до сих пор.

Перечислим простые задачи, имеющие практическое значение и не исследованные в настоящей книге.

1. Тепловой поток между цилиндром и плоскостью, например между проложенной в земле трубой или кабелем и поверхностью земли.

2. Поток между двумя концентрическими цилиндрами.

3. Поток от решетки труб.

4. Поток между двумя полосами, находящимися в неограниченной среде.

5. Поток через стенки печи.

Из этих примеров в первых трех рассматриваются геометрически простые границы, так что для них можно надеяться найти полные теоретические решения. Два последних примера сложнее.

В последнее время большое внимание уделяется разработке численных методов решения таких задач (см. гл. XVIII).

Вначале отметим, что в случае изотермических поверхностей тепловой поток между ними можно найти из теоретического или экспериментального определения их электрической емкости. Предположим, что тепло передается от поверхности с температурой к поверхности с температурой через среду с коэффициентом теплопроводности Тогда, определяя термическое сопротивление исследуемой системы как отношение разности температур поверхностей к количеству тепла, проходящему между ними в единицу времени, находим

где символ обозначает дифференцирование по нормали к 52, направленной внутрь среды.

В этом случае температура служащая решением уравнения Лапласа, принимающим на границах значения численно равна электростатическому потенциалу, возникающему между поверхностями и разделенными материалом с диэлектрической проницаемостью, равной единице, и заряженными до потенциалов Емкость такого конденсатора равна

Отсюда, сравнивая (5.1) и (5.2), получим

Аналогично, если пространство между двумя поверхностями заполнено электролитом и при известной разности потенциалов измерен электрический ток между ними, то можно определить термическое сопротивление между поверхностями. Этот метод был использован для получения эмпирической формулы термического сопротивления стенки печи толщиной окружающей прямоугольный параллелепипед со сторонами в случае, представляющем значительный интерес, а именно при имеющем тот же порядок величины, что и и с [18].

Трехмерные задачи подобного типа довольно сложны. Если их можно упростить и привести к двумерным, то становится полезным метод конформного отображения, оказавшийся весьма плодотворным в других областях науки. В наших исследованиях этот метод применим к трем типам задач. Во-первых, он позволяет получить точные решения простых задач, например задач, изложенных в пунктах 1 и 2; во-вторых, он дает приближенные решения некоторых задач типа 3 в том смысле, что он дает точные значения для решеток овальных кривых, которые имеют почти (но не совсем) круглую форму; наконец, его можно использовать для исследования некоторых областей простого типа, которые очень часто встречаются на практике, например стенки, изогнутой под прямым углом, стенки переменной толщины, изолирующего кольца и т. д.

Этот метод подробно рассматривается в учебниках по электричеству и гидродинамике. Здесь же мы дадим только краткое введение к приложению этого метода, сначала к задачам для установившегося теплового потока, когда температура поверхности является произвольной функцией положения, а затем к более простому случаю теплового потока между изотермическими поверхностями.