§ 4. Полуограниченный стержень. Периодически изменяющаяся температура. Метод Ангстрема [5—10]

В предыдущем параграфе мы показали, как установившееся распределение температур в длинном металлическом стержне малого поперечного сечения можно использовать для определения коэффициента теплопроводности вещества. Неустановившееся распределение также можно использовать для этой цели, если температура одного из концов стержня периодически меняется, что приводит к распространению по нему тепловых волн. Из наблюдений над прохождением этих волн вычисляется коэффициент теплопроводности. Ангстрем впервые применил данный метод, и его работа исключительно интересна как строгостью математических рассуждений, так и новизной экспериментального метода. Позднее Хагстрем [12] рассмотрел ту же задачу, предположив, что коэффициенты теплопроводности и теплообмена зависят от температуры. Нейман и Вебер распространили этот метод на случай короткого стержня, темпеоатура обоих концов которого периодически меняется (см. § 8 данной главы).

Ангстрем проводил эксперименты на длинных стержнях малого поперечного сечения. Температура конца стержня периодически менялась, так как через равные промежутки времени его попеременно то нагревали потоком пара, то охлаждали потоком холодной воды. По истечении достаточного времени температура в стержне становилась некоторой периодической функцией от не зависящей от начального распределения температур. Это периодическое распределение температур и исследовал Ангстрем. В экспериментах Ангстрема учитывается, что стержень отдает тепло в среду с постоянной, принимаемой за нуль температурой.

Как и раньше, поперечное сечение стержня считается настолько малым, что температуру по всему сечению можно принять равной температуре в центре. Длина стержня должна быть достаточной для того, чтобы температурные изменения, происходящие на конце полностью затухали, не достигнув противоположного конца. Таким образом, при математической трактовке задачи можно считать стержень полуограниченным.

Ищем периодическое решение уравнения (2.4) данной главы в виде

После его подстановки в (2.4) получим для V следующее уравнение:

Решение этого уравнения, стремящееся к нулю, когда имеет вид

где

следовательно,

Таким образом,

представляет собой общее периодическое решение уравнения (1.1) с периодом

В опытах Ангстрема период колебания температуры в стержне составлял 24 мин. По истечении достаточно большого промежутка времени после начала эксперимента измеряли температуры в двух точках и полученные данные представляли гармоническими рядами

Их почленное сравнение с (4.4) дает

где Используя эти результаты в последнем из выражений (4.3), получаем

Таким образом, коэффициент теплопроводности определяется независимо от коэффициента теплообмена. Изменяя характер поверхности стержня, т. е. изменяя мы будем получать одинаковые значения для х. Ангстрем производил такие изменения, и полученные им результаты совпали с результатами его более ранних экспериментов.

Если известно, то нетрудно найти

Пусть при температура равна 1 при и нулю при где , тогда установившаяся температура в точке х в момент времени определяется выражением

где величины, определенные выше, а

Если при температура определяется выражением

то в (4.4) остаются лишь первые два члена, и температурные колебания распространяются со скоростью

Используя величину определяемую (4.3), получим

Если скорости для периодов то можно исключить и мы получим

Кинг [13] использовал опыты Ангстрема, причем конец проволоки он нагревал проволочной спиралью, по которой протекал ток, пропорциональный