§ 13. Часть шара, вырезаемая конусом ... Температура поверхности равна нулю, начальная температура равна ...
В данном случае дифференциальное уравнение для 
имеет следующий вид:
где 
. Его следует решать при условиях
и
Поступая так же, как и в § 11 данной главы, находим, что уравнение (13.1) удовлетворяется функцией
где 
обобщенная функция Лежандра (см. [29] или [35]), определяемая формулой
Здесь 
гипергеометрическая функция Гаусса. В функции 
должно равняться нулю или целому положительному числу, а 
должно быть больше чем 
но не должно быть целым числом. Функция (13.5) при нецелом 
имеет особую точку при 
Таким образом, она не была бы приемлемой в задаче для сплошного шара, разобранной в § 11 данной главы.
Если мы положим 
то из условия (13.3) найдем
и следовательно, 
должно быть корнем этого уравнения, превышающим 
Наконец, условие (13.2) требует, чтобы а было положительным корнем уравнения
При таком выборе 
выражение (13.4) удовлетворяет граничным условиям и не обращается в бесконечность внутри исследуемого тела.
Если, как и выше, предположить, что функцию 
можно разложить в ряд
и что этот ряд можно почленно интегрировать, то, как и в § 11 данной главы, можно найти коэффициенты ряда. Единственное отличие здесь заключается в том, что в данном случае вместо соотношений (11.11) и (11.12) этой главы нужно использовать следующий результат: если 
любое положительное число или нуль, а 
два различных, больших 
корня уравнения 
то
и
Это доказывается в конце настоящего параграфа. Тогда найдем, как и в § 11 данной главы,
Если 
то в этих формулах 
следует заменить на 
Коэффициенты 
можно найти аналогичным путем. Таким образом, мы получим решение задачи в следующем виде:
где коэффициенты определяются так же, как и выше.
Если твердое тело является частью шара радиуса 
вырезанной конусом 
и плоскостями 
а температура его поверхностей равна нулю, то так же, как это делалось выше, следует разложить функцию 
в ряд
Аналогичный метод применим к телам, ограниченным другими поверхностями, записанными в полярных координатах.
Решение для конуса 
можно получить путем перехода к пределу решения (13.12) при а 
Это будет сделано в § 17 гл. XIV.
Остается еще доказать справедливость использованных выше соотношений 
Пусть
Тогда
Следовательно,
Отсюда следует, что если 
и 
— два различных, больших чем —1/2 корня уравнения 
то
Точно так же, когда 
то
