§ 6. Линейный тепловой поток. Составные твердые тела

Функции Грина для составных областей можно найти уже использовавшимися выше методами.

I. В области находится материал с термическими коэффициентами а в области материал, для которого эти коэффициенты равны соответственно. Контактное сопротивление на граничных поверхностях отсутствует. В области в плоскости в момент времени действует единичный мгновенный плоский источник [21].

Распределение температур, обусловленное действием в плоскости неограниченного тела с термическими коэффициентами единичного мгновенного плоского источника в момент равно следующей величине:

так что

Здесь в дальнейшем мы введем также

Примем, что в области

где решение уравнения для линейного теплового потока, обращающееся при в нуль; иными словами,

Для будем искать решение уравнения линейного теплового потока, которое должно обращаться в нуль при Оно будет иметь вид

А и В должны быть здесь выбраны так, чтобы

Таким образом, находим

Следовательно,

Стало быть, решение в области является решением, обусловленным совместным действием первоначального источника и источника мощностью

в положении «изображения» в неограниченной среде с термическими коэффициентами

Решение в области служит решением для источника мощностью

действующего в плоскости в неограниченном твердом теле с термическими коэффициентами Задача, аналогичная задаче но на поверхности имеется контактное сопротивление а следовательно, граничное условие имеет вид

Решения записываются следующим образом:

где

III. В области — находится материал с термическими коэффициентами а в области материал с коэффициентами Контактное сопротивление на границе отсутствует. области а в плоскости х в момент времени действует мгновенный единичный плоский источник. При поверхности поддерживаются при нулевой температуре,

где корни уравнения

Вторые ряды в формулах (6.13) и (6.14) присутствуют только в тех случаях, когда несократимая рациональная дробь (см. § 8 гл. XII).

IV. В области — содержится материал с термическими коэффициентами а в области мапежал с коэффициентами контактное сопротивление на границе отсутствует. В области в плоскости х в момент времени действует единичный плоский мгновенный источник. При поверхность поддерживается при нулевой температуре.

Как и в § 8 гл. XII, решения можно представить либо в виде интегралов с бесконечными пределами, либо в виде бесконечных рядов, соответствующих бесконечному ряду изображений.

Так, например,

или