§ 16. Единственность решения задачи теплопроводности

Рассмотрим задачу теплопроводности в конечной замкнутой области при. заданных начальной температуре и температуре на поверхности.

Допустим, что имеется два независимых решения уравнений

Пусть Тогда V удовлетворяет уравнениям

Если уравнения (16.1) имеют единственное решение, то т. е. Рассмотрим объемный интеграл

где интегрирование производится по всему объему твердого тела.

Тогда

Приняв в формуле Грина (см. соотношение (7.4))

и полагая, что V удовлетворяет условиям, достаточным для того, чтобы теорема Грина была справедлива (например, непрерывность V и ее первой и второй производных), получим

где интегрирование производится по всей поверхности и по всему объему твердого тела. Тогда

Поскольку на поверхности V равно нулю, первый интеграл обращается нуль при условии, что ограничена на поверхности, и мы получаем

Поэтому

Если мы можем утверждать, что

то из соотношения (16.6) следует, что при При этом, согласно (16.3), мы имеем и поскольку V непрерывно, то, следовательно, Это классическое доказательство единственности решения приводится во многих работах.

Было отмечено [97—99), что для выполнения соотношения (16.7) необходимы дальнейшие допущения, касающиеся . В самом деле, из условия при для любых фиксированных в исследуемом объеме не вытекает, что при В качестве простейшей иллюстрации этого положения рассмотрим случай одномерной полуограниченной области

Рассмотрим функцию

Она удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности

Кроме того,

и

Таким образом, функция (16.8) удовлетворяет уравнению теплопроводности и обращается в нуль при и на границе области, однако она не обращается в нуль тождественно. Физически эту функцию можно представить себе как температуру, обусловленную дублетным источником тепла <см. ниже § 8 гл. X). Она не стремится к нулю равномерно по х при о и не ограничена в окрестности например при Интеграл, соответствующий (16.3), записывается в виде

и, следовательно, если Таким образом, условие (16.7) не выполняется, и в этом случае приведенное выше доказательство единственности решения теряет силу.

Для выполнения условия (16.7) должны быть сделаны дополнительные предположения относительно функции V, исключающие функции, подобные приведенной выше. Очевидно, что условие (16.7) оказывается справедливым, если мы примем, что V равномерно стремится к нулю при для по всему объему или что каждая из производных меньше постоянной которая не зависит от по всему объему и от в интервале

Следует отметить, что было все же сделано несколько попыток установления более общих условий, при которых решение единственно; кроме того, доказывалась единственность полученного решения в каждой специальной задаче. Аналогичное рассуждение можно применить и к иным граничным условиям, к анизотропной среде и к случаю установившейся температуры.

Доказать существование решения приведенных выше уравнений еще труднее, чем доказать единственность решения. Физическая интерпретация этих уравнений требует, чтобы решение существовало. Вопросы математического доказательства таких теорем существования относятся к области чистого анализа.