§ 4. Граничные условия

Мы будем рассматривать здесь только левую граничную поверхность; тогда нас будет интересовать область и значения при Аналогичным образом можно рассматривать и только правую граничную поверхность.

В случае заданной температуры задается и вводится в систему разностных уравнений функция Как отмечалось в § 3 настоящей главы, характер этой функции может влиять на устойчивость уравнений.

Во все другие граничные условия входит тепловой поток

Если в задаче с твердым телом используется разностное уравнение (3.4) и для любого нам известны то из этого уравнения можно найти значения и остается найти из условия (4.1) на граничной поверхности. Это можно сделать несколькими способами.

I. Подставляя выражение (2.8) данной главы в условие (4.1) и пренебрегая вторыми разностями, получим

Это уравнение можно решить относительно

II. Более точный результат аналогичного типа можно получить, используя соотношение (2.9) вместо (2.8). Это дает

Ни один из этих методов нельзя считать достаточно удовлетворительным, поскольку они требуют экстраполяции функции в область, в которой она может быстро меняться.

III. Этот метод проще всего изложить, воспользовавшись схемой, разработанной Шмидтом. Ее особенность заключается в задании совокупности температур в фиктивной точке Если для известно то из (3.4) можно найти Для нахождения соотношение (2.11) подставляют в условие (4.1). Пренебрегая третьими разностями, получим

В этом случае а следовательно, и определяются непосредственно, без решения таких уравнений, как (4.2; или (4.3).

При отсутствии теплового потока на границе уравнение (4.4) принимает вид

IV. Следует отметить, что в методах I и II рассматриваются величины теплового потока при тогда как в методе III — его величина при Если тепловой поток быстро меняется с изменением температуры или во времени, то можно ожидать, что указанные методы дадут различные результаты, что можно учесть, вводя в (4.4) значения потока при тогда приближенно получим выражение

Объединяя его с (3.4), снова получаем для линейное уравнение.

Приведенные выше формулы, а также ряд других рассматриваются в работе [14], где исследовались их устойчивость и точность для случая теплообмена по линейному закону.

Далее следует остановиться еще на одном, довольно интересном практическом моменте, а именно на использовании начального решения. Пусть, например, на тело с постоянной температурой внезапно накладываются граничные условия; тогда тепловой поток вблизи поверхности окажется большим и величины рассчитанные на первых нескольких шагах по времени, будут очень неточными. Поэтому желательно начинать не с постоянных значений при а с вычисленного решения, например при или даже если это решение найдено с учетом приближенного (линеаризованного) граничного условия. Такие решения легко получить из точных решений, приведенных ранее. Для важных граничных условий можно, вероятно, найти новые решения. Например, для случая, когда тепловой поток через

поверхность является степенной функцией ее температуры, известно решение, пригодное для небольших значений времени [27].

Ряд сравнений точных решений при различных методах рассмотрения граничного условия был сделан в статье [14] для случая теплообмена по линейному закону.