§ 5. Полуограниченное твердое тело. Начальная температура равна нулю. Поверхность находится при температуре ...

Выше мы видели (см. § 14 гл. I), что из решения для случая постоянной температуры поверхности можно, пользуясь теоремой Дюамеля, получить решение и для случая переменной температуры поверхности.

Для полуограниченного твердого тела, когда должно удовлетворять уравнениям

и

решение (4.10) принимает вид

Если же

и

то из соотношения (14.10) гл. I следует, что решение имеет вид

где

В этом случае

Следовательно, решение нашей задачи записывается следующим образом:

Положив

получим

и

Отсюда ясно, что наше решение удовлетворяет дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям.

Ниже приводятся некоторые специальные случаи, представляющие практический интерес.

1. (постоянная) при (постоянная) при

2. , где постоянная

т. е.

Обозначения, используемые в соотношениях (5.5), (5.7) и (5.8), см. в приложении 2.

3. , где постоянная.

т. е.

Как будет показано в § 9 настоящей главы, приведенное выражение соответствует температуре поверхности при постоянном тепловом потоке с этой поверхности.

4. , где любое положительное целое число (четное или нечетное).

При использовании выражения (5.8) температуру на любой глубине для случая, когда температура поверхности является полиномом от или от можно записать в виде табулированных функций. Следует отметить, что полиномом от можно пользоваться при эмпирическом представлении наблюдаемой температуры поверхности, так как член, содержащий 2, соответствует постоянному тепловому потоку с поверхности (см. § 9 данной главы).

5. , где постоянная (положительная или отрицательная).

Функции ошибок с комплексным аргументом, используемым в очень важном случае отрицательной были совсем недавно затабулированы (см. приложение 2). Решение для положительных значений используется в гл. IV.

Мы можем решить задачу о полуограниченном твердом теле с начальной температурой и температурой поверхности положив

Здесь и удовлетворяет уравнению

при условии

а уравнению

при условии

Иными словами, и служит решением задачи, рассмотренной выше, решением задачи, приведенной в § 4 данной главы.