ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ

§ 1. Введение

В настоящей главе мы рассмотрим задачи теплопроводности для стержней с малым поперечным сечением. Стержень предполагается настолько тонким, что температуру во всех точках его поперечного сечения можно считать одинаковой. Эта задача сводится, таким образом, к задаче линейного теплового потока, в которой температура определяется временем и расстоянием х, измеряемым вдоль стержня. Если теплообмен на поверхности стержня отсутствует, то рассматриваемые здесь задачи становятся идентичными задачам, рассмотренным в гл. III. Существенно новая особенность задач данной главы заключается в следующем: мы предполагаем, что каждый элемент поверхности стержня отдает в результате теплообмена тепло в окружающую среду. Во многих старых и в некоторых новых методах определения теплопроводности используются экспериментальные устройства такого типа.

§ 2. Дифференциальное уравнение распределения температуры в тонком стержне

Предположим, что стержень имеет постоянную площадь поперечного сечения периметр сечения коэффициент теплопроводности К, плотность вещества удельную теплоемкость с, коэффициент температуропроводности х и коэффициент теплообмена

Предположим далее, что стержень расположен вдоль оси х, и рассмотрим элемент объема, ограниченный сечениями, проходящими через перпендикулярно оси стержня.

Количество тепла, поступающее в этот элемент в единицу времени через сечение, проходящее через точку х, равно

Аналогичным образом количество тепла, уходящее в единицу времени через сечение, проходящее через точку равно

Следовательно, приращение количества тепла в элементе объема в единицу времени, обусловленное потоком тепла через оба сечения стержня, равно

Количество тепла, теряемое в единицу времени вследствие теплообмена боковой поверхности элемента объема со средой, равно

где температура среды.

Полный прирост количества тепла в единицу времени в элементе объема равен

Таким образом,

или

где

Если на боковой поверхности стержня теплообмен отсутствует, уравнение теплопроводности принимает вид

и задачи распределения температур в стержне сводятся к задачам линейного теплового потока, рассмотренным в гл. II и III.

При наличии теплообмена со средой, имеющей постоянную температуру, последнюю можно принять за нуль, и тогда наше уравнение запишется следующим образом:

Используя подстановку (см. стр. 38)

(2.4) можно свести к виду

Таким образом, наша задача сводится к рассмотренной ранее задаче линейного теплового потока.

1. Полуограниченный стержень с нулевой начальной температурой. При граница х = 0 поддерживается при постоянной температуре Здесь функция и должна удовлетворять уравнению (2.6), обращаться в нуль при и иметь значение при

Решение этой задачи приведено в § 5 гл. II (см. (5.9)); оно имеет вид

Отсюда получаем окончательно

2. Ограниченный стержень с нулевой начальной температурой. При плоскости поддерживаются при постоянной температуре . В данном случае функция и должна удовлетворять уравнению (2.6), обращаться в нуль при и иметь значения при Используя решение этой задачи, приведенное в § 5 гл. III (см. (5.6)), получим окончательно

Первый член представляет собой решение, соответствующее установившемуся состоянию, которое будет получено непосредственно в § 5 настоящей главы.

Если материал стержня неоднороден или его теплопроводность является функцией температуры, то ясно, что уравнение (2.1) следует заменить уравнением

Если сечение стержня непостоянно, то зависят от х, и аналогичным образом мы получим для стержня с постоянным коэффициентом теплопроводности К соотношение