§ 12. Неограниченный цилиндр. Неустановившаяся температура. Общий случай
В данном параграфе рассматривается ряд задач для неограниченного цилиндра, в котором поток не радиален. При этом используются разобранные выше методы, а также интегралы, приведенные в § 5 настоящей главы.
I. Температура поверхности 
равна нулю. Начальная температура 
В данном случае уравнение теплопроводности принимает вид 
а выражение 
удовлетворяет этому уравнению.
Здесь 
принимает целые значения, так как температура является периодической функцией от 
с периодом 
Разложим функцию 
в ряд Фурье
где
и
Коэффициенты 
являются функциями от 
Разложим каждый из них в ряд функций Бесселя 
порядка
где 
— положительные корни уравнения
Эти корни представлены в виде таблиц для 
от 
до 5 в книге [24].
Тогда мы можем написать
и
Таким образом, мы получим наше решение в виде
II. Теплообмен на поверхности 
со средой нулевой температуры. Начальная температура 
Разложим в ряд Фурье функцию 
как и в задаче I,
Коэффициенты и 
являются функциями 
Разложим каждый из них в ряд функций Бесселя 
порядка
где 
— положительные корни уравнения
Тогда получим
и
III. Температура поверхности 
равна нулю. Начальная температура 
В данном случае имеем
и выражение
является частным интегралом.
Разложим теперь функцию 
в ряд Фурье
Коэффициенты 
являются функциями 
Обозначим эти функции через 
и 
и разложим их в ряд функций Бесселя, определяемых положительными корнями уравнения
Пусть, кроме того,
Наконец, выразим функции 
через интегралы Фурье
Тогда мы получим наше решение в виде
где суммирование по 
производится по положительным корням уравнения
Изменяя порядок интегрирования в (12.3), окончательно получим
IV. Температура поверхности 
равна 
Начальная температура 
Как показано в § 14 гл. I и в § 11 гл. VII, этот случай приводится соответственно к примерам III и I, если положить 
Неограниченный цилиндр. Поверхность 
и плоскости 
поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура 
В данном случае можно написать
Выражение
является частным интегралом этого уравнения.
Условия при 
удовлетворяются в том случае, если 
положительное целое число, 
корень уравнения
Разложим функцию 
в ряд по синусам
где коэффициенты 
являются функциями 
например 
Теперь разложим 
в ряд функций Бесселя, определяемых положительными корнями уравнения
Таким образом, мы получим решение нашей задачи в виде
где, используя соотношение (5.2) данной главы,
здесь суммирование по а производится по положительным корням уравнения
Решение для клина со щеками 
можно получить из написанного выше при 
Если начальная температура равна постоянной, то (12.5) принимает вид
где
служат корнями уравнения
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
