§ 18. Дифференциальное уравнение теплопроводности для анизотропных твердых тел

Теперь приступим к разработке теории, основанной на общем допущении (17.1). В данном случае остается справедливым уравнение (6.3), и, подставляя в него выражения (17.1), мы получим следующее уравнение теплопроводности при условии, что среда однородна и что в ней отсутствуют источники тепла:

Распространение указанного уравнения на другие случаи производится так же, как и в настоящей главы.

Рассмотрим теперь квадратичную форму

Известно, что соотношение (18.2) можно преобразовать к новой системе прямоугольных координат таким образом, чтобы его левая часть превратилась в сумму квадратов

Пользуясь теми же переменными, приведем уравнение (18.1) к виду

Эти новые оси называют главными осями теплопроводности, а коэффициенты к» главными коэффициентами теплопроводности. Из соотношений

(17.9) — (17.12) следует, что если кристалл обладает осями симметрии, то они служат также главными осями теплопроводности.

Если мы проведем дополнительное преобразование системы координат, а именно, положим

где К можно выбрать произвольно, то уравнение (18.4) запишется следующим образом:

т. е. примет тот же вид, что и уравнение (6.4) для случая изотропного твердого тела. Итак, это преобразование позволяет свести решение задач для анизотропных твердых тел к решению соответствующих задач для изотропных твердых тел в следующих случаях: когда тело не ограничено, когда оно ограничено плоскостями, перпендикулярными главным осям теплопроводности, и (в случае когда тело ограничено плоскостями, перпендикулярными оси и круговыми цилиндрами, ось которых совпадает с осью 6. В большинстве других случаев ограничивающие поверхности искажаются; например, сечение кругового цилиндра с осью, направленной вдоль одной из главных осей, становится эллиптическим.

Для однородных ортотропных твердых тел, для которых справедливо соотношение (17.15), уравнение теплопроводности имеет вид

тогда как для твердых тел с цилиндрической симметрией, т. е. когда справедливо выражение (17.16), уравнение теплопроводности примет вид

Ниже будет описан ряд важных специальных случаев, для которых дифференциальное уравнение сохраняет только одну или две пространственные переменные.

I. Температура зависит только от х.

Вследствие симметрии этот случай можно свести к случаю потока тепла в полуограниченном твердом теле или в пластине с поверхностями, перпендикулярными оси и с граничными условиями, не зависящими от Тогда и соотношения (17.1) примут следующий вид:

Кроме того, дифференциальное уравнение (18.1) преобразуется к виду

Таким образом, вся теория, излагаемая в гл. 11 и 111, оказывается правильной для анизотропного твердого тела при условии, что

Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей теплопроводности равны то из выражения (17.13) следует, что

После того как найдено из (18.9) определяются тепловые потоки и тогда оказывается, что вектор теплового потока направлен не по нормали к изотермам. Эти результаты следуют из общей теории, приводящей k. соотношению (20.15). данной главы.

II. Тепло течет только в направлении х.

Это имеет место в тонком стержне, ось которого совпадает с осью х. Тогда и из соотношения (17.2) получим

Воспользовавшись соотношением (6.3), можно записать теперь дифференциальное уравнение (18.1) в виде

Тогда мы получим уравнение линейного потока тепла, где

Следует отметить, что не равно а определяется соотношением (17.3).

Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей равны то из (17.13) мы получим для выражение

Это выражение выводится в общем виде (см. (20.25)).

Таким образом, теорией о распространении тепла в стержне, изложенной в гл. IV, можно пользоваться для кристаллических стержней при условии, что величина х определяется соотношением (18.15).

III. Температура зависит только от х и у.

Это имеет место в случае распространения тепла в неограниченном цилиндре с осью, параллельной оси и при граничных условиях, не зависящих от Так как то уравнение (18.1) принимает вид

и тепловые потоки определяются соотношениями (17.1) при Следует отметить, что Этот случай менее важен, чем случай двумерного течения тепла в тонкой пластине который подробно рассматривается в следующем параграфе.