§ 11. Прямое применение метода преобразования Лапласа к двумерным и трехмерным задачам

Выше отмечалось (см. § 1 гл. VI), что из всех существующих методов метод преобразования Лапласа обеспечивает наиболее прямое решение задачи с нулевой начальной температурой и заданной температурой поверхности. В данном параграфе таким путем решается несколько важных задач этого типа.

I. Прямоугольный параллелепипед Нулевая начальная температура. Температура поверхности равна постоянной величине температура других граничных поверхностей равна нулю.

В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид

Его следует решать при условиях

и при равном нулю на других граничных поверхностях.

Чтобы при этих условиях получить решение уравнения (11.1), мы поступаем точно так же, как и в § 2 гл. VI. Единственное отступление заключается в том, что к правой части выражения (2.3) этой главы должен быть добавлен член При этом видоизменении мы можем оценить решение (2.9) гл. VI и, следовательно, после некоторых изменений в обозначениях получим

где

Тогда, используя теорему обращения, найдем

где

Подынтегральная функция в (11.5) имеет простой полюс при простые полюсы при значениях соответствующих

Находя соответствующие вычеты, окончательно получим

где

Первый член в решении (11.6), который получается из (11.5) при полюсе представляет собой уже известное нам решение для стационарного состояния (см. (2.9) гл. VI).

II. Та же задача, что и в I, но поверхность поддерживается при температуре

Единственное изменение здесь заключается в том, что подынтегральную функцию в (11.5) следует умножить на

В таком случае она имеет полюсы при что дает решение для установившегося периодического режима в виде

где

Помимо этого, имеются полюсы при — которые дают переходную часть решения

Если все поверхности поддерживаются при температуре решение получается наложением шести выражений полученного выше типа. Очевидно, что эти решения настолько сложны, что практически неприменимы для расчета.

III. Прямоугольный параллелепипед Нулевая накальная температура. Температура поверхности равна постоянной величине температура поверхности равна постоянной величине На других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой ратуры.

Здесь, используя решение (2.23) гл. VI, находим, как и в задаче I,

где положительные корни уравнений (2.16), (2.17) гл. VI и

Решение представляет собой сумму установившейся части решения (см. (2.23) гл. VI) и переходной его части

где

IV. Ограниченный цилиндр Нулевая начальная температура. Поверхность поддерживается при постоянной температуре V, а при нулевой температуре. На поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

Здесь, используя, как и выше, задачу I § 3 гл. VIII, получим

положительные корни уравнения

V. Ограниченный цилиндр Нулевая начальная температура. При поверхность поддерживается при постоянной температуре На остальных поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температу

В данном случае

где положительные корни уравнения

положительные корни уравнения

VI. Полу ограниченный цилиндр Нулевая начальная температура. При поверхность поддерживается при постоянной температуре На поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае

Здесь для нахождения из мы пользовались обычным решением (3.33) гл. VIII, формулой (19) приложения 5 и соотношением (2.6) гл. положительные корни уравнения (11.15).

VII. Полуограниченный цилиндр Нулевая начальная температура. При поверхность поддерживается при постоянной температуре V, а поверхность при нулевой температуре

Как и выше, мы можем использовать пример XIII § 3 гл. VIII, но излагаемый ниже метод более прост. Легко проверить, что функция

где корни уравнения удовлетворяет вспомогательному уравнению и граничным условиям.

Если использовать формулу (19) приложения 5, то отсюда следует, что

Первый член решения (11.18) представляет собой значение для неограниченного цилиндра с температурой поверхности V, и следовательно, ряд в этом соотношении можно рассматривать как поправку на влияние торца. Такая схема решения полезна, когда поверхность, уходящая в бесконечность, поддерживается при постоянной температуре, и поэтому интегральная теорема Фурье становится неприменимой, хотя получаемые с ее помощью решения на самом деле обычно правильны.

VIII. Клин Нулевая начальная температура. При поверхность поддерживается при температуре V, а поверхность при нулевой температуре.

В этом случае вспомогательное уравнение имеет вид

Ищем решение этого уравнения в виде

где Оно состоит из члена, соответствующего решению для стационгрнога состояния, и ряда членов, обращающихся в нуль на обеих граничных полуплоскостях Неизвестная функция должна быть выбрана таким образом, чтобы решение (11.21) удовлетворяло уравнению (11.20). Подставляя (11.21) в (11.20) и используя соотношение, приведенное в книге Ватсона [66],

найдем

Таким образом, окончательно получим

и

Интегралы в решении (11.23) можно выразить в виде вырожденных гипергеометрических функций [66].

Если при обе граничные полуплоскости поддерживают при температуре, равной единице, а начальная температура равна нулю, то мы получим

где

IX. Конус Нулевая начальная температура. При поверхность имеет температуру, равную единице.

Применяя метод, использованный в предыдущем примере, находим

где положительные корни уравнения

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)