22. Линейные уравнения с частными производными.

До сих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения, содержащие производные от функций по одной независимой переменной. Такие уравнения, как мы уже упоминали, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Теперь мы рассмотрим некоторый класс уравнений с частными производными, поскольку эти уравнения непосредственно связаны с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вернемся к рассмотрению системы дифференциальных уравнений (38)

Равенчтво

или функция не сводящаяся тождественно к постоянной, называется интегралом системы (74), если при подстановке в нее какого-либо решения системы, которое имеется согласно теореме существования и единственности, получается постоянная.

Пусть, например, независимая переменная, а функции от являющиеся решением системы (74). Подставляя эти функции в выражение мы должны получить постоянную, т. е. в результате подстановки независимая переменная должна исчезнуть и, следовательно, полная производная по должна равняться нулю [I, 69]

или

Но раз мы подставляли решение системы (74), то дифференциалы должны быть пропорциональны величинам и, заменяя в формуле пропорциональными величинами получим для следующее уравнение:

Функция должна удовлетворять этому уравнению независимо от того, какое именно решение системы (74) мы подставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начальных условий в теореме существования и единственности, значения переменных могут быть какие угодно, если мы берем все решения системы (74), т. е. функция должна удовлетворять уравнению (76) тождественно относительно Мы получаем таким образом следующую теорему.

Теорема 1. Если есть интеграл системы (74), то функция должна удовлетворять уравнению с частными производными (76).

Нетрудно доказать обратное предлржение.

Теорема 2. Если есть какое-нибудь решение уравнения (76), то есть интеграл системы (74).

Действительно, подставим в функцию какое-нибудь решение системы (74) и возьмем полный дифференциал

Поскольку мы подставили решение системы, мы можем, в силу (74), заменить пропорциональными величинами где — некоторый коэффициент пропорциональности. Отсюда

Но поскольку по условию теоремы, удовлетворяет уравнению (76) тождественно относительно мы имеем Выражение дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли переменные независимыми или нет II, 153]. В нашем случае, при подстановке решения системы, будет функцией одной независимой переменной, например и оказалось, что дифференциал этой функции равен нулю, т. е. производная по (после подстановки) тождественно равна нулю, иначе говоря, после подстановки не зависит от т. е. является постоянной. Это и показывает, что есть интеграл системы, что и требовалось доказать.

Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятия интеграла системы (74) и решения уравнения в частных производных (76).

Если

суть k интегралов системы, то, как мы видели, произвольная функция дает также интеграл системы, и мы можем, следовательно, сказать, что произвольная функция каких-либо решений уравнения (76) есть также решение этого уравнения. Если

есть n независимых интегралов системы (74), то произвольная функция есть решение уравнения (76).

Это можно и непосредственно проверить, если подставить в уравнение (76) и принять во внимание, что функции удовлетворяют этому уравнению. Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что при выполнении некоторых условий этой формулой выражается любое решение уравнения (76). Отсюда получается следующее правило интегрирования этого уравнения: чтобы найти общее решение уравнения с частными производными (76), надо составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (74) и найти независимых интегралов (77) этой системы. Общее решение уравнения (78) будет

где F — произвольная функция своих аргументов.

Линейное относительно частных производных уравнение (76) обладает двумя особенностями: его коэффициенты не содержат искомой функции и его свободный член равен нулю. В общем случае линейного уравнения будем иметь уравнение вида

где содержат . Будем искать семейство решений уравнения (78) в виде неявной функции

где С—произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявной функции

подставляя в (78), получим для со уравнение

обладающее указанными выше двумя особенностями.

Заметим, что ввиду произвольности С в переменные могут иметь любые значения, и, как и выше, отсюда вытекает, что уравнение (792) должно выполняться тождественно относительно . Его решение приводится к интегрированию соответствующей ему системы обыкновенных уравнений. Если найдено, то определит нам . Можно показать, что при некоторых общих предположениях относительно таким путем можно получать все решения уравнения (78).

Обратим внимание на то, что общее решение уравнения с частными производными содержит произвольную функцию, тогда как в общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений входят лишь произвольные постоянные.

В томе IV мы более подробно изучим линейные уравнения с частными производными и установим соответствующую теорему существования и единственности.