16.4.4. ОЦЕНИВАНИЕ

На практике ковариационная матрица совокупности неизвестна, и факторные нагрузки и дисперсии должны быть получены на основе выборочной ковариационной матрицы С, оцененной по выборке объема Прежде чем приступать к оценке параметров факторной модели, необходимо фиксировать число факторов к. Это число выбирается таким образом, чтобы количество эффективных параметров модели было самое большее тем же, что и в исходной ковариационной матрице При этом обычно предполагается, что имеют многомерные нормальные распределения. Это дает возможность построить тест для проверки гипотезы согласия относительно числа параметров .

В факторном анализе существует два общих подхода к оцениванию. Один основан на методе максимального правдоподобия [см. гл. 6] при явных предположениях о многомерной нормальности [см. II, раздел 13.4]. Второй «эксплуатирует» факторизацию матрицы ковариаций в манере анализа главных компонент. При втором подходе предположения о нормальности используются только для получения критерия гипотезы согласия.

Метод максимального правдоподобия в факторном анализе направлен на получение оценок (подчиненной условию диагональности), максимизирующих функцию правдоподобия, в которой вектор средних исходных наблюдений заменен его оценкой х.

Из результатов раздела 16.2.1 следует, что логарифмы правдоподобия есть

В предположениях факторной модели матрица V замещается на и функция максимизируется для получения оценок Это не простая проблема, и она не может быть решена аналитически. Более подробное описание содержится в работе [Lawley and Maxwell (1971)].

Другой метод известен как анализ главных факторов. Он основан на идее анализа главных компонент. Анализ главных компонент можно рассматривать как ортогональное преобразование для X вида

где строка ортогональной матрицы Г есть транспонированный собственный вектор соответствующий по величине собственному числу Ковариационная матрица для будет диагональной с диагональными элементами , где

и

В [Press (1972), с. 318—319] предложено решение, основанное на (16.4.3), при котором предполагается, что ошибки являются малыми или этом случае факторная модель принимает вид

давая

где — диагональная матрица с диагональными элементами, равными квадратным корням диагональных элементов

Более экономное представление для V может быть получено, если выбрать таким образом, чтобы остались только к наибольших собственных чисел, и отбросить наименьших вместе с соответствующими собственными векторами. В результате получится матрица факторных нагрузок размера

Если предположение неприемлемо, то аналогичный подход может быть основан на применении редуцированной матрицы

или, что более удобно,

в терминах собственных чисел и векторов. Заметим, что в обоих случаях матрица диагональна.

На практике используются выборочные матрицы ковариаций С или корреляций Когда необходимо угадать диагональные элементы матрицы которые являются оценками общности. Детальное обсуждение этих проблем содержится в работе [Mardia, Kent and Bibby (1979), с. 261—263].

Декомпозиция симметричных матриц в анализе главных факторов представляет собой просто применение хорошо известных результатов матричной алгебры [см. I, гл. 6, 7]. Условие некоррелированности факторов можно ослабить. Если предположить, что ковариационная матрица для есть положительно определенная матрица Ф размера то разложение ковариационной матрицы примет вид

16.4.5. ОБСУЖДЕНИЕ

В интерпретации факторных нагрузок имеются очевидные трудности. Можно попытаться дать описание некоторого фактора, рассматривая только наибольшие нагрузки этого фактора и соответствующие им случайные переменные. Для облегчения такой интерпретации можно сделать ортогональное преобразование факторов, что не меняет факторное разложение ковариационной матрицы. Эта процедура известна как вращение факторов. Факторы при этом стараются преобразовать таким образом, чтобы как можно больше нагрузок было близко к нулю, что упрощает интерпретацию. Подробное описание одного из подобных методов, известного как варимакс, можно найти в работе [Kaiser (1958)].