11.4. ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТЕЙ

11.4.1. ВЫБОРОЧНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТЕЙ

Таблицы сопряженностей представляют собой подходящую форму суммаризации массива данных, когда зависимая и объясняющая переменные являются индикаторными векторами. Пусть есть уровень А и если в противном случае, так что индикаторный вектор для А. Тогда сумма дает число объектов из массива данных с уровнем Одновходовая таблица сопряженностей есть просто таблица итогов:

Двухвходовая таблица конструируется с помощью индикаторных векторов получаемых поточечным умножением векторов у, для для так что если Элементами в этой таблице будут величины . В качестве примера приведем следующие таблицы:

Трех- и многовходовые таблицы определяются очевидным образом.

Когда имеется более одной зависимой переменной, таблицы сопряженностей строго следовало бы отнести к области многомерного анализа [см. гл. 6]. Однако поскольку такое расширение связано только

с индикаторными векторами, можно рассматривать их и в рамках развитой здесь концепции, применяя некоторую перекодировку массива данных. В примере «курящие — пол» исходный массив содержал 120 строк и каждая строка соответствовала подростку. В новом массиве, представленном в табл. 11.4.1, каждый объект соответствует одной из клеток таблицы сопряженностей «Курение и пол».

Такое преобразование существенно сокращает объем данных, но при предположении о линейности модели это не приводит к потере информации.

Таблица 11.4.1. Преобразование массива данных

Старый массив может быть реконструирован из нового, за исключением порядка строк, что несущественно при условии, если массив данных допускает перестановку строк. В статистической терминологии суммы индикаторов в клетках являются достаточными статистиками [см. раздел 3.4].

Вектор сумм в клетках теперь образует зависимую переменную, но, к сожалению, его компоненты не являются независимо распределенными, так как сумма равна количеству объектов в исходном массиве. Однако в то же время у имеет условное пуассоновское распределение, для которого, к счастью, процедур» подгонки подходящей модели идентична процедуре подгонки для выборки из независимого пуассоновского распределения, пока условие соблюдается.

Мы получим этот результат, рассматривая простой выбор из мультиномиального распределения, т. е. предполагая, что исходные объекты с номерами независимо распределены и каждый из них имеет одинаковый набор вероятностей попадания в одну из к клеток. Хорошо известный результат, основанный на стандартной теории распределений, состоит в том, что распределение количеств объектов, попавших в клетки будет мультиномиальным с параметрами [см. раздел 2.9]. Другой стандартный результат состоит в том, что если каждая из независимых случайных величин имеет распределение Пуассона с параметром и если то имеет пуассоновское распределение с

параметром [см. табл. 2.4.1]; условное распределение множества сумм в клетках при условии, что значение будет мультиномиальным с параметрами [см. раздел 2.9]. Следовательно, мультиномиальное распределение сумм в клетках может рассматриваться как условное пуассоновское.

Дальше можно показать, что функция плотности объединенного распределения может быть записана как отношение пуассо-новских плотностей, так что лог-правдоподобие задается выражением

где — функция лог-правдоподобия для совместного пуассоновского распределения при предположении о независимости, а — лог-правдоподобие для одной пуассоновской случайной величины. Член не зависит функционально от вероятностей поэтому вывод относительно них будет основан только на . А это равносильно эквивалентному предположению, что являются независимыми пуассоновскими величинами со средними

Имеются другие выборочные схемы для таблиц сопряженностей, т. е. различные способы выбора объектов. Все они приводят к процедуре вывода, основанной на функции правдоподобия для пуассоновского распределения. Одной из наиболее важных схем является product-мультиномиальная. Она имеет много приложений и особенно часто используется в клинических исследованиях для анализа ретроспективных и проспективных экспериментов. Простой пример проспективного плана возникает, когда индивиды (объекты) распределяются в группу с обработкой и контрольную группу. Обе группы поддерживаются в одних и тех же клинических условиях и наблюдается состояние входящих в них объектов (болен — не болен). Результирующей двухвходовой таблицей будет следующая:

Здесь Заметим, что здесь число индивидов в каждой из групп фиксировано с самого начала и анализ должен проводиться с учетом заданных фиксированных значений Выход индивидов из эксперимента не допускается. В этом эксперименте А рассматривается как объясняющий фактор (фактор обработки, экзогенный фактор), а В известен как фактор отклика.

Легко видеть, что такая модель является расширением простой мультиномиальной модели для двух мультиномиальных (фактически биномиальных, так как имеются только два уровня у фактора

отклика В). Функцией лог-правдоподобия будет

— условные вероятности, так

Итак, лог-линейная функция правдоподобия свелась к той же форме, что и прежде, но подчинена дополнительным ограничениям Следовательно, здесь можно использовать способы подгонки, как для таблицы с распределением Пуассона в условиях независимости, но с учетом ограничений на параметры.

Заслуживает внимания факт, что на практике возникают выборки, точно подчиняющиеся распределению Пуассона. Как пример приведем количество соединений между абонентами в телефонной сети. Это случайная величина, которая может хорошо описываться пуассоновским распределением. Это обусловлено характеризацией пуассоновского распределения как распределения частоты «редких» событий. Двухвходовая квадратная таблица классификации соединений по

I очнику и приемнику вызова и представляющая число сделанных соединений будет таблицей сопряженностей.