11.3.8. ФАКТОРЫ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ УРОВНЯМИ

Факторы с упорядоченными уровнями пригодны для более детального анализа. Рандомизированный блочный эксперимент из раздела 11.3.5, относящийся к изучению влияния уровня удобрения на урожайность пшеницы, служит достаточно хорошим примером. Двухфакторная модель с главным эффектом может быть записана как

где — эффект уровня удобрения на ожидаемый урожай

— блоковый эффект. Уровни удобрения — Для квадратичной модели имеем

Три параметра ( размерность оболочки T) сокращаются до двух, соответствующих линейной и квадратичной компонентам эффекта обработки (дозы удобрения). Квадратичная модель для урожайности позволяет получить аппроксимацию положения максимума урожайности; приравнивая к нулю, имеем Пусть Тогда квадратичная модель может быть записана в виде

Некоторой альтернативой будет служить применение линейной компоненты фактора обработки, х, для проверки наличия взаимодействия блоков и обработок. План эксперимента был составлен так, чтобы каждая обработка применялась только один раз в каждом блоке. Когда повторения отсутствуют, невозможно получить разделенную оценку ошибки. Очевидно, взаимодействие смешано с

оцениванием параметра масштаба Однако можно проверить, варьируется ли компонента Т от блока к блоку, т. е. имеется ли некоторое взаимодействие вида (линейная компонента Это может быть достигнуто сравнением девиации для модели

с девиацией модели

Проверка наличия взаимодействия и квадратичной модели для главного эффекта обработки может быть проведена одновременно путем сравнения моделей, приведенных на диаграмме:

Заметим, что эта диаграмма могла бы быть более полной при включении взаимодействия (квадратичное т. е. члена

С большей общностью пусть А — фактор с I уровнями и его уровню соответствует величина Положим теперь где — некоторая величина, соответствующая уровню А. Определим компоненту А как Если величины различны, то А можно представить в виде

т. е. А разлагается на линейную, квадратичную и т. д. компоненты. Для равноотстоящих значений легко сконструировать ортогональные полиномы, взяв линейные комбинации [см. раздел 11.3.1]: и т.д. так, чтобы были ортогональны.

Пример. Пусть и А имеет три уровня, с индикаторными векторами и значениями Тогда

Легко проверить, что Следует заметить, что, хотя уровни некоторого фактора могут быть упорядочены, возможность однозначного присвоения числовых значений его уровням не является однозначной. Так острота зрения может быть низкой, средней, высокой. Для этих уровней значения —1, 0, 1 ничем не хуже, чем —1, 0, 100. Существуют методы подгонки моделей со значениями уровней, относительно которых предполагается только ранжирование но они слишком сложны для обсуждения здесь.