18.2.2. МОДЕЛЬ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ

Сезонные изменения в ряде авиаперевозок имеют сложную форму вследствие влияния зимних, весенних и летних отпусков. Для некоторых сезонных рядов с достаточно гладкими сезонными изменениями можно добиться хорошей подгонки модели, обходясь меньшим числом параметров, а именно используя в качестве регрессионных компонент синусоидальные волны [см. IV, раздел 2.12] с соответствующим периодом, что будет рассмотрено в разделе 18.3.2. Для других ситуаций период или длина волны цикла могут быть точно неизвестны. На рис. 18.2.2, а) изображен ряд измерений звездной величины звезды Т Большой Медведицы, полученных усреднением наблюдений за последовательные десятидневные интервалы. Здесь очевидно наличие ярко выраженного цикла, который можно учесть с помощью регрессионной модели вида

где — среднее, — угловая частота (в радианах в единицу времени), — амплитуда (неслучайная величина) и — фаза волны. Член

(кликните для просмотра скана)

снова обозначает ошибку. Как видно из расположения неизвестных параметров модель линейна по и но не по со и Однако можно написать

где в такой форме модель линейна по параметрам и В, которые можно оценить с помощью обычной регрессии, если предварительно с достаточной степенью точности определить На рис. 18.2.2, а) видны пять циклов за 130 единиц времени, и в качестве начального приближения для периода мы используем число 26, а для угловой частоты — величину Таким образом, мы вводим два вектора-регрессора, или две переменные, содержащие значения

и, оценивая параметры регрессии по методу наименьших квадратов [см. раздел 8.2], получаем оценки их стандартные ошибки [см. определение

Отсюда или 1,46 радиана.

Снова исследуем остатки, показанные на рис. 18.2.2, б). Модель учитывает 86,8% дисперсии данных, так что дисперсия остатков значительна. Остатки далеки от случайности, и для этого возможны два объяснения. Во-первых, ошибка в определении частоты могла быть достаточно большой, чтобы привести к плохому согласованию с данными. Во-вторых, может быть более важна несимметричность формы наблюдаемой волны, подсказывающая нам, что гармоника основной волны, т. е. волна удвоенной частоты, способна улучшить подгонку. Мы исследуем эти возможности по очереди.

Значение частоты можно очень просто уточнить с помощью регрессионных методов. Представим истинную частоту со как где 6 предполагается малым. С помощью элементарных вычислений [см. IV, раздел 3.6] приближенно находим:

Расширим регрессионное уравнение (18.2.3), введя новый вектор

с компонентами, вычисляемыми по уже оцененным значениям А и В. Оценивание параметра дает значение и малое,

но значимое улучшение качества подгонки. Уточненная оценка частоты равна что соответствует периоду 25,64 временных единиц (256,4 дня).

Гармоника основной волны и первая гармоника (с удвоенной основной частотой) оцениваются при введении новых регрессионных векторов

с удвоенной основной частотой в дополнение к уже имеющимся в (18.2.4). На практике это было сделано с заменой частоты на уточненную частоту Улучшение подгонки снова оказалось малым, но значимым, оценка амплитуды первой гармоники равнялась 0,34, дисперсия остатков составила 10% дисперсии исходных данных. Частота была снова уточнена, но это не привело к значимым изменениям. Остатки, показанные на рис. 18.2.2, в), заметно уменьшились, но их все еще нельзя считать хотя бы похожими на случайный ряд. Они будут проанализированы в разделе 18.11.

В этом практическом примере присутствие детерминированных синусоидальных компонент не вызывает сомнений. Дальнейшие примеры показывают, что детерминированные функции следует вводить с осторожностью, и если хорошей подгонки можно достичь лишь с использованием большого числа членов, то к интерпретации результатов надо относиться критически.