18.3.2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Рассмотрим гармонические векторы, определенные для некоторого периода формулами

если четно. Для нечетного максимальное значение для следует в обоих случаях взять равным осциллирующий вектор будет отсутствовать.

Можно показать, что эти векторы образуют ортогональную систему [см. I, раздел 10.2], и сумма квадратов элементов каждого вектора равна за исключением и (только для четных для которых эта величина равна Таким образом, любой вектор из элементов, скажем, можно однозначно представить как линейную комбинацию гармонических векторов, т. е.

где целая часть числа и если нечетно, то последний член необходимо опустить.

Заметим теперь, что если правую часть (18.3.2) рассмотреть при то все гармонические компоненты при или же примут те же значения, что и при . Таким образом, правая часть (18.3.2) по построению периодична с периодом Если — первые значений периодического временного ряда с периодом то представление (18.3.2) будет справедливо для всех

Этот результат применяется для моделирования временных рядов с жестко фиксированным периодическим поведением с целым периодом Так, при рассмотрении ежемесячного временного ряда длины взяв и продолжив во времени гармонические регрессионные векторы до полной длины ряда мы получаем заманчивую альтернативу индикаторным переменным рассмотренным в разделе 18.2.1. Если используется вся совокупность гармонических компонент, то модели равносильны. Преимущество рассмотренной здесь модели в том, что, возможно, будет достаточно меньшего числа компонент; для гладких рядов вклады высокочастотных компонент будут пренебрежимо малы. Свойство ортогональности компонент сохраняется, если кратно но для применений это условие не существенно.