13.3. ОПЕРАТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПКОВ

Пусть задана последовательная случайная выборка значений случайной величины X с п.р.в. и значение параметра неизвестно. Предположим, что надо проверить гипотезы

Рис. 13.2.2. ПКОВ для проверки гипотезы относительно среднего нормального распределения при

на заданных уровнях Как уже указывалось, это просто означает, что фиксированы значения а именно

Вывод приближенного выражения для ПКОВ приведен в книге [Wald (1947) с. 48—50, русский перевод: с. 75—79]. Он основан на следующих соображениях. Положим Тогда для (абсолютно) непрерывной случайной величины X математическое ожидание функции

равно

(Для дискретных случайных величин следует заменить интеграл суммированием по всем возможным значениям ).

Из равенства (13.3.1) вытекает, что функция

является функцией плотности вероятностей. При процедуру ПКОВ для проверки гипотезы Н, что является истинной плотностью распределения X, против гипотезы что истинной плотностью является можно описать следующим образом:

1) продолжить наблюдения, если после наблюдений

2) прекратить наблюдения и принять Н, если

3) прекратить наблюдение и принять Н, если

Если выбрать границы так, чтобы то выборка

которая приводит к принятию Н, будет приводить и к принятию Но, поскольку

ПКОВ, описываемый так, как показано выше, совпадает с исходным ПКОВ, в котором все альтернативы «заключены» в степень Для модифицированного таким образом критерия вероятность ошибки I рода равна вероятности отклонить Н, когда она верна, т. е. единице минус вероятность принять, что истинная плотность распределения х есть когда это действительно так, или поскольку равна вероятности принятия — истинная плотность. (Заметим, что вертикальная черта перед условием есть истинная плотность» не означает условной вероятности, а имеет смысл союза «когда» [см. раздел 1.4.2 п. 6]).

После простых алгебраических преобразований можно получить исходного критерия:

Используя в этом выражении приближенные значения для границ А и В, приведенные в разделе 13.2.1, получим приближенное выражение для

Доказательство в случае проводится точно так же. Для проверки заметим, что поскольку то Находя значения для определенных значений , можно получить график зависимости от параметра