15.5.2. ВЫВОДЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Если — случайная выборка из распределения Пуассона с параметром в [см. II, раздел 5.4], то получим вероятностную модель

где

Рис. 15.5.2. (см. скан) Примеры плотностей гамма-распределений:

Чтобы провести байесовский анализ, нужно задать вид априорной плотности вероятностей для параметра, появляющегося в распределении Пуассона. В этом случае в может быть любым действительным положительным числом, поэтому

Как было показано в предыдущем разделе, ситуация стала бы гораздо более удобной, если бы удалось найти семейство функций плотности вероятности, чтобы можно было генерировать широкий диапазон видов кривых, соответствующих априорным представлениям, изменяя параметры функций семейства, и подгонять их способом, поддающимся интерпретации, к виду, согласующемуся с функцией правдоподобия, определяемой моделью Пуассона.

В качестве такого семейства можно взять плотности гамма-распределения [см. II, раздел 11.3], имеющие вид

при любом выборе Варьируя значения можно генерировать разнообразные виды кривых, отдельные примеры которых показаны на рис. 15.5.2. Так как характеризует плотность, получим , следовательно,

Пользуясь этим результатом, легко показать, что среднее значение гамма-распределения равняется а дисперсия равняется Выбирая соответствующие значения параметров можно подобрать такой вид кривой, который будет отражать размещение и разброс действительных априорных представлений в широком диапазоне.

Для конкретно выбранных теорема Байеса, записанная в форме пропорции, дает

Следовательно, получим

— выражение для интеграла, выведенное из его формы, о которой говорилось раньше.

Сравнивая вид отметим, что последнее также является плотностью гамм а-распределения и что таким образом продемонстрирован общий результат, который схематически можно выразить в виде

Этот результат позволяет сформулировать простое правило для уточнения вида представлений в случае вероятностной модели пуассоновского типа и априорных представлений, выраженных с помощью плотности гамма-распределения. Параметры последней легко преобразовать, пользуясь достаточными статистиками их.

Выражения для апостериорных правдоподобных интервалов легко вывести, пользуясь таблицами распределения хи-квадрат, если заметить, что величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Этот факт легко продемонстрировать с помощью стандартных методов преобразований [ср. с разделом 2.5.4, а)].

Апостериорное среднее, являющееся одним из возможных вариантов точечной оценки для в, задается с помощью

где используется тот факт, что

Отметив, что можно записать

снова видим, что апостериорное среднее есть взвешенное среднее априорной оценки и оценки полученной на основе данных. Когда становится большим, коэффициент взвешивания становится больше и приближается к 1. Более того, апостериорная дисперсия стремится к нулю, и, таким образом, происходит все большая концентрация представлений в окрестности х независимо от того, каким был точный первоначальный выбор при условии, что последние будут малыми по сравнению с . В этом случае различные, широкие в пределах возможного множества априорных представлений будут стягиваться к апостериорному согласию в мнениях, которое хорошо выражается с помощью гамма-распределения с параметрами Среднее и дисперсия этого апостериорного распределения задаются в виде и если взять в качестве приближенного значения 95%-ного правдоподобного интервала величину, равную среднему ±2 стандартных отклонения, то можно верифицировать результат, полученный в примере 15.3.5 из раздела 15.3.5 на основе другого подхода.

Если потребовалось прогнозное распределение для наблюдения, которое будет получено при первом из последующих испытаний, нужно рассчитать

Пример 15.5.3. Предположим, что , следовательно, нам нужно узнать вероятность того, что следующее наблюдаемое значение будет нулевым. Тогда

Интуитивно кажется, что это выражение разумно. При прочих равных условиях малые значения (т. е. малое полное число наблюдений для предыдущих случаев) будут приводить к значениям, близким к 1 (особенно если велико). С другой стороны, если велико, то величина в скобках (которая меньше 1) будет возводиться в степень с большим значением и получится малое значение вероятности.