11.2.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕВИАЦИИ

Чтобы увидеть, можно ли удалить некоторую объясняющую переменную из модели без значимого сокращения прогностической силы модели, можно подогнать модель дважды — с этой переменной

и без нее Разница девиаций будет статистикой для суждения о включении этой переменной в модель. Снова обратимся к примеру с биномиально-логистической моделью. Экспериментатор хочет проверить эффект дозы препарата относительно смертности Модель:

Результаты:

Девиация для более сложной модели меньше, чем для как и должно быть. Оценка значимости величины этого сокращения требует знания выборочного распределения. Аппроксимация распределения отношения правдоподобия для больших выборок дает следующее: если является истинной моделью (нулевая модель) и содержится в М («загнездована»), то разность имеет распределение степенями свободы (где равно числу степеней свободы для и т. д.). Более того, эта разность распределена независимо от . В нашем случае При гипотезе это реализация -распределенной случайной величины с степенями свободы и уровень значимости для нее около 0,004. Итак, гипотеза значимо несостоятельна [см. табл. 5.2.1].

В случае данных с нормальной функцией плотности асимптотический результат для больших выборок относительно распределения разности девиаций будет точным для выборок любого объема, но необходима некоторая его модификация в связи с наличием параметра Проиллюстрируем это на примере с регрессией, проходящей через начало координат.

Данные:

Матрица перекрестных произведений:

Модель:

Лог-отношение правдоподобие:

Уравнения правдоподобия для М:

Решение:

Уравнения правдоподобия для

Решение:

Параметр масштаба оценивается с помощью приравнивания девиации для большей модели к ее математическому ожиданию. Так как мат матическое ожидание для -случайной величины есть просто число степеней свободы, получаем

Тест для проверки гипотезы будет тогда следующим:

Эта статистика является отношением двух независимых -распреде-ленных случайных величин и, следовательно, подчиняется -распределению. Результаты анализа могут быть сведены в таблицу анализа девиаций:

Наблюдаемое значение F расположено между 1%-ным значением (34,1) и 0,1%-ным значением (167) для -распределения, и, следовательно, уровень значимости, соответствующий нулевой гипотезе, также лежит в этих пределах. Поэтому результат проверки гипотезы можно считать высокозначимым. Гипотеза явно несостоятельна.