13.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ОТНОШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ПКОВ)

Рассмотрим последовательную случайную выборку из распределения вероятностей, зависящего от одного неизвестного параметра Наблюдения будем считать независимыми. Пусть значение функции плотности вероятности в точке х равно Требуется проверить простую гипотезу против простой альтернативы [см. раздел 5.2.1 в) и г)]. Наилучший (наиболее мощный) критерий, основанный на выборке заданного объема с уровнем значимости а, как следует из леммы Неймана—Пирсона [см. раздел 5.12.2], основан на отношении правдоподобия

Гипотеза отвергается, если где значение константы к подбирается так, что вероятность ошибки I рода равна:

В последовательном критерии отношения вероятностей (ПКОВ), введенном Вальдом [см. Wald (1947)] для проверки двух гипотез, также используется отношение правдоподобия. Фиксируются значения вероятности ошибки I рода а и вероятности ошибки II рода Отсюда находят две такие константы А и В, что после наблюдений дальнейшие действия определяются правилами:

1) если то прекратить испытания и принять

2) если то прекратить испытания и принять

3) если то продолжить испытания.

13.2.1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ГРАНИЦ ОСТАНОВКИ

Предположим, что гипотеза отклоняется именно при наблюдении, т. е. что

и

Последнее неравенство эквивалентно

Обозначим через множество всех выборок для которых . Тогда, в предположении существования плотности вероятностей,

откуда

Аналогично

(Для дискретных распределений кратный интеграл нужно заменить на суммирование по всем выборкам, которые приводят к отклонению гипотезы

Для вывода этих соотношений нужно предположить, что последовательная процедура в отдельных случаях заканчивается. Доказательство того, что ПКОВ заканчивается с вероятностью 1, можно найти в работе [Wald (1947) с. 157—158, русский перевод: с. 202—203].

Таким образом, мы получили оценки сверху для А и снизу для В, выраженные через заданные значения а и . На практике ПКОВ с фиксированными определяется правилами:

1) если то закончить выбор и принять (отклонить

2) если то закончить выбор и принять (отклонить Н);

3) если то продолжить выбор.

Такая замена постоянных А и В приведет к новым значениям ошибок I и II рода. Обозначим их а и соответственно. Повторяя предыдущие рассуждения для , получим

и

Отсюда

и аналогично

Поскольку обычно малы, то отличиями от вызванными изменением границ, можно пренебречь. Поэтому

Можно показать, что

причем по крайней мере одно из неравенства выполнено.

13.2.2. ПРИМЕРЫ

Пример 13.2.1. Биномиальный ПКОВ. Пусть наблюдения извлечены из точечного распределения Бернулли [см. II, раздел 5.2.1] с неизвестным значением параметра и

Будем называть событие успехом, а — неудачей. Предположим, что необходимо проверить гипотезу против с заданными вероятностями ошибок I и II рода соответственно.

После наблюдений отношение правдоподобия равно:

где число успехов в испытаниях. Для упрощения перейдем к логарифмам:

Определим процедуру ПКОВ:

1) если принять

2) если принять

3) если то продолжить испытания.

Каждый раз, когда получено новое наблюдение, вычисляется новое значение . В случае успеха значение возрастает на величину (которая больше нуля, так как а при неудаче изменяется на величину (которая меньше нуля, так как ). Отметим еще, что при границы

Рис. 13.2.1. ПКОВ для параметра в рабпределения Бернулли с

Вместо использования как основы критерия можно воспользоваться величиной — числом успехов в испытаниях — и изобразить соответствующие области графически. Для иллюстрации положим и пусть Тогда

В этом случае процедура продолжается, если

и прекращается с принятием одной из гипотез, когда это условие не выполнено. Если нарисовать число успехов испытаниях как функцию от числа испытаний для то границы остановки будут представлять собой параллельные прямые вида с наклоном и свободными членами где Заметим, что в данном случае свободные члены в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, поскольку равны значения Это дает возможность графически изобразить последовательную выборочную схему еще до проведения испытаний [рис. 13.2.1]. Начиная из начала координат каждую последовательную выборку можно изобразить на этом графике выборочной траекторией. Как только выборочная траектория достигает или пересекает одну из границ, дальнейшие испытания прекращаются и принимается соответствующее

решение. Например, последовательность испытаний 1, 0, 1,

1, 0 изображается выборочной траекторией , , , как это показано на рис. 13.2.1. Последовательную выборочную схему в этом случае можно представить и в табличной форме [табл. 13.2.1], где указано минимальное и максимальное число успехов в испытаниях, при котором гипотеза отвергается или принимается.

По существу, в последовательной схеме следует сначала взять фиксированное число наблюдений (в данном случае 5), а затем использовать точки остановки, указанные в таблице. Поскольку число успехов всегда целое, выборочная траектория в большинстве случаев в момент прекращения испытаний выходит за границы остановки. Например, точные пределы для остановки при равны:

Таблица 13.2.1. (см. скан) Точки остановки для при проверке гипотезы против для объемов выборок

В отличие от ранее рассмотренных схем выборочного контроля здесь не существует максимального объема выборки. Границы остановки, порождаемые являются открытыми. Кажется, что существует возможность того, что для некоторых выборочных траекторий решение прекратить наблюдения никогда не будет принято. Однако, как уже упоминалось, в книге с. 157—158, русский перевод: с. 202—203] приведено доказательство того, что последовательная процедура с вероятностью 1 обрывается. Можно ожидать, что число наблюдений до момента остановки при 0 около 3/8 будет больше, чем при

Другой способ графического представления ПКОВ состоит в изображении выборочной траектории в координатах причем возрастает на при каждом успехе и уменьшается на при каждой неудаче. В этом представлении границы остановки изображаются двумя прямыми, параллельными оси для которых

Пример 13.2.2. Нормальный (гауссовский) ПКОВ. Пусть случайная выборка извлекается последовательно из нормальной генеральной совокупности с неизвестным средним 0 и дисперсией 1. Предположим, что мы хотим проверить гипотезу против и пусть После наблюдений

[см. пример 6.2.4] и продолжение наблюдений в ПКОВ производится, если

В противном случае наблюдения прекращаются и принимается решение принять или отклонить гипотезу После очередного наблюдения возрастает на Описание процедуры можно упростить следующим образом: продолжить наблюдения, если

и прекратить наблюдения и принять соответствующую гипотезу в противном случае.

Если изобразить текущее значение суммы в зависимости от числа наблюдений то границы остановки, соответствующие ПКОВ, окажутся парой параллельных прямых с наклоном и постоянными Например, при наклон границ равен 1/2, а константы равны . На рис. 13.2.2 изображены эти границы остановки и выборочная траектория, соответствующая выборке из 8 наблюдений из стандартного нормального распределения. Эта трактория приводит к принятию гипотезы

Поскольку сумма наблюдений является непрерывной случайной величиной, выборочная траектория всегда пересекает границы остановки. Вероятность того, что сумма наблюдений окажется точно на границе, равна нулю.