16.2.5. ВЫВОДЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Рассмотрим случайную выборку объема к из двумерного нормального распределения с вектором средних (дидг) и матрицей ковариаций

Как было показано в примере 16.2.1, оценкой максимального правдоподобия для коэффициента корреляции будет

Можно показать [см. Anderson (1959), с. 62—64], что когда статистика имеет следующую выборочную плотность:

или, что эквивалентно, выборочным распределением величины

будет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Наиболее важным приложением этого результата является проверка гипотезы против 0. Гипотеза отвергается на уровне значимости а, если

где есть -ная точка -распределения Стьюдента с степенями свободы.

Предположим, что регрессия переменной на [см. пример 4.5.3] задается как

Тогда

Из этого следует, что, когда выполнено условие предположения

равнозначны. И проверка значимости то же самое, что проверка

значимости Обычная процедура [см. пример 5.5.2] проверки нулевой гипотезы

«отвергает» ее на уровне а, если

где — оценка наименьших квадратов для 0, [см. раздел 6.5.3, п. 1], a означает оценку выборочной стандартной девиации (остаточной суммы квадратов). После некоторых преобразований можно показать, что левая часть неравенства (16.2.12) переходит в левую часть неравенства (16.2.11), что, конечно, и должно быть, так как последняя имеет распределение Стьюдента. Проверка, равна ли корреляция нулю, эквивалентна проверке, зависимы ли Для умеренных и больших объемов выборки к может быть использовано преобразование для известное как -преобразование Фишера [см. раздел 2.7.3, п. б)]:

Величина асимптотически нормально распределена со средним

и дисперсией (Здесь взят по основанию е.)

Гипотеза может быть, следовательно, проверена с помощью таблиц стандартного нормального распределения. Например, рассмотрим выборку объема к из трехмерного нормального распределения. Частный коэффициент корреляции между при заданном значении есть

где — корреляция между (Это, по определению, коэффициент корреляции условного распределения при заданном значении

Если верна гипотеза , оценка максимального правдоподобия , полученная из (16.2.13) замещением на соответствующие оценки максимального правдоподобия, величина

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Отсюда следует тест для . Проверки гипотез индивидуальных коэффициентов частной корреляции в -мерном нормальном распределении, когда фиксированы значения переменных, основаны на статистике вида (16.2.14), имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы.