19.3. ОТНОШЕНИЕ К РИСКУ И ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ

19.3.1. НЕЖЕЛАНИЕ РИСКОВАТЬ

В этом разделе мы рассмотрим основные идеи, позволяющие математически исследовать задачу «учета риска». Под этим названием мы понимаем задачу выбора между решениями, оставить ли все по-прежнему или решиться на действия с неопределенным исходом, в результате которых можно выиграть, а можно и проиграть. Примеров такой ситуации очень много: предложение страховки со стороны страховой компании (взносы могут привести к «выигрышу», но обязательства выплат в случае «бедствия» в итоге могут привести к «ущербу»), сельское хозяйство (активы можно запасать или потратить на зерно, урожай которого может принести «доход», а может и «потери», если случится засуха) или различные азартные игры (после уплаты входного взноса или «ставки» можно «выиграть» или «проиграть» в зависимости от того, произойдет или нет некоторое согласованное событие: например, определенная лошадь выиграет заезд, выпадет определенная карта из колоды, определенный номер в рулетке и т. д.). Для простоты в этом разделе мы будем рассуждать об эффекте в денежном выражении, но важно понимать, что те же соображения (может быть, с небольшими изменениями) применимы во всех ситуациях, когда мы имеем дело с риском.

На рис. 19.3.1 схематически изображена простая задача принятия решений, проясняющая существо всех задач учета риска. Одно действие сохраняет существующее положение и не приводит к неопределенности; все остальные порождают ситуации, в которых события могут развиваться так, а могут и иначе, приводя к улучшению ситуации при благоприятном исходе или к ухудшению при неблагоприятном.

Используя ранее введенные обозначения [см. раздел 19.1.1], получим:

с возможными последствиями:

текущий капитал не изменился,

текущий капитал увеличился на денежный выигрыш,

текущий капитал уменьшился на поставленную сумму.

Рис. 19.3.1. Простая задача «учета риска» в принятии решений

В этом разделе мы будем придерживаться байесовского подхода к принятию решений. При этом подходе для примера, изображенного на рис. 19.3.1, нужно задать следующие величины: во-первых, вероятности состояний при заданном действии а, или а во-вторых, приписать определенные значения всем последствиям.

В разделе 19.1.1 мы рассуждали в терминах функции потерь: так что значение, сопоставляемое каждому следствию, имело смысл «ущерба», происходящего при выборе действия если состоянием природы окажется . В этом разделе мы, наоборот, будем использовать функцию полезности Ее значение интерпретируется как положительный результат или выигрыш, получающийся при сочетании действия и состояния . Если угодно, можно считать выигрыш отрицательным ущербом или наоборот. Выбор той или иной терминологии объясняется только принятыми соглашениями. В статистических задачах типа оценивания мы почти всегда говорим о плохих ответах и поэтому оказывается естественным говорить об ущербе; в задачах капиталовложений, например, мы надеемся, что принятые решения в итоге приведут к выигрышу и поэтому более естественно говорить в терминах полезности. В первом случае байесовское решение минимизирует ожидаемый ущерб, в последнем максимизирует ожидаемый выигрыш.

Рассмотрим конкретный пример ситуации, изображенной на рис.

19.3.1. Предположим, что ваше текущее состояние в денежном

Рис. 19.3.2. Иллюстрация к условию неравенства

выражении составляет денежная ставка равна а чистый выигрыш — Положим еще, что при действии а при действии

Выигрыш каждого последствия (в денежном выражении) при этом равен:

Тем самым выигрыш определен при любых значениях С, Р и при помощи функции полезности где X обозначает множество состояний (активов), которые могут возникнуть при такой игре. Отсюда ожидаемый выигрыш двух действий будет следующим:

Если мы стремимся к максимизации ожидаемого выигрыша, то оптимальными будут решения:

Соответствующая ситуация изображена на рис. 19.3.2, а) и 19.3.2,б), где мы предполагали, что

Рассмотрим теперь частный случай т. е. в денежной терминологии «честную игру»:

Рис. 19.3.3. Формы функций полезности, для которых при оптимальными решениями являются: а) никогда не играть; б) всегда играть; в) всегда безразлично, играть или нет

Анализируя рис. 19.3.2 и условия выбора решений, мы можем выяснить, при каких обстоятельствах лицо, принимающее решение, может решить, следует ли ему или нет вступить в игру (т. е. выбрать действие или ). Ясно, что следует выбрать если

и если

В случае равенства оба решения равноценны.

Предположим теперь, что во всей изучаемой области изменения х заданная лицом, принимающим решение, функция полезности такова, что оптимальное решение не зависит от С и , что при любом выборе оптимальным решением всегда окажется или всегда или всегда оба решения будут равноценны. Легко видеть, что при этом функция полезности (если только она непрерывна) должна иметь вид, изображенный на рис. 19.3.3, а), б), в).

Ситуация, показанная на рис. 19.3.3, а), соответствует убывающей частной полезности денег: добавки одной и той же суммы (скажем, S) дают все меньший дополнительный выигрыш при добавлении к возрастающему капиталу (например, переход от к С дает больший дополнительный выигрыш, чем переход от С к При такой функции полезности ЛПР всегда предпочтет наверняка иметь капитал С, чем бросать монетку при

выборе между Поэтому лицо, принимающее решение исходя из такой функции полезности, называется сверхосторожным (или не рискующим). Для него статус-кво всегда предпочтительнее, чем неопределенная ситуация, математическое ожидание исходов которой равно исходному состоянию (честная игра).

Чтобы игра с исходом была предпочтительнее, чем гарантированный капитал С, сверхосторожному ЛПР нужна большая вероятность исхода Если обозначить ее через то ЛПР предпочтет играть, если

Другими словами,

Последнее неравенство означает, что сверхосторожному игроку нужно, чтобы отношение шансов его выигрыша превосходило отношение приростов функции полезности.

Рис. 19.3.3, б) соответствует возрастающей частной полезности: дополнительные приращения фиксированного размера (например, приводят ко все большему и большему выигрышу по мере роста капитала (например, переход от С к C+S дает больший выигрыш, чем переход от С-S к С). Такая форма функции полезности заставляет ЛПР вступить в честную игру (с ожидаемым денежным результатом вместо того, чтобы остаться с гарантированным капиталом С. Такого игрока естественно называть авантюрным (или рискующим).

Легко видеть, что авантюрный игрок иногда будет вступать в игру с исходными даже когда шансы на выигрыш равные будут неблагоприятными. Поскольку такой игрок будет играть, если

то требуется только, чтобы

а из рис. 19.3.3, б) видно, что правая часть строго меньше 1; отсюда следует, что существуют значения при которых авантюрный игрок предпочтет играть вместо того, чтобы сохранить статус-кво.

Ситуация, изображенная на рис. 19.3.3 в), приводит к равноценности вступления в игру и сохранения статус-кво. Заметим, что если очень мало в сравнении с С, то локально (в окрестности обе кривые на рис. 19.3.3, а) и 19.3.3, б) выглядят примерно так же, как на рис. 19.3.3 в) (поскольку в достаточно малой области непрерывная функция хорошо аппроксимируется прямой линией). В частности, это объясняет, почему осторожные люди предпочитают не вступать в денежные игры, если ставки (и выигрыши) достаточно малы.

Рис. 19.3.4. Определение