18.8.2. ПРИМЕРЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
Рассмотрим модель 
для удобства употребляя обозначение 
вместо 
Переписывая это соотношение в виде
получаем
и мы видим, что зависимость 
от прошлых значений 
убывает геометрически. Можно вывести корреляционные свойства модели из (18.8.5), но более прямой путь состоит в использовании модели (18.8.4), если вспомнить свойства ОЛМ из раздела 18.6.1, такие, как 
и в предположении стационарности 
или
Отсюда, умножая обе части (18.8.4) на 
и беря математическое ожидание, получаем
что приводит к соотношению
Автокорреляционное поведение с таким простым геометрическим убыванием до некоторой степени популярно в экономическом моделировании, где модель 
часто рассматривается для описания структуры ошибок в линейной регрессии, связывающей экономические показатели.
Свойства модели 
на качественном уровне зависят от корней полинома
В форме (18.6.1) для ОЛМ такая модель 
в случае действительных 
имеет коэффициенты
вычисляемые в точности так же, как были подсчитаны коэффициенты 
в модели 
в разделе 18.7.1. Можно показать, что АКФ ряда 
ведет себя сходным образом:
где
В случае, когда 
имеет комплексные корни, смесь двух геометрически убывающих последовательностей заменяется затухающей синусоидой. Полагая
мы можем в терминах 
и X записать АКФ как
где
Эта синусоидальная волна, наиболее заметная, когда 
близко к единице, отражает общий феномен приблизительной цикличности ряда 
. Что-то подобное наблюдается в ряду поголовья свиней, изображенном на рис. 18.1.1. Соответствующее поведение спектра в этой ситуации — это пик в спектре на частоте 
близкой к X (это верно снова в предположении, что 
достаточно близко к единице). В действительности
Когда множитель 
модель (18.8.9) фактически становится неотличимой от чистой синусоидальной волны
которую можно описать рекурсивным уравнением второго порядка:
Поэтому на практике для конечного набора данных иногда трудно отличить чистую синусоидальную волну от авторегрессионной модели, в частности, если она образует единственную составляющую ряда, быть может, включающего также ощутимые ошибки наблюдений.
