18.10.3. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ

Эти методы основаны на подгонке к данным параметрической модели. Наиболее популярный подход состоит в построении по выборочной АКФ коэффициентов конечного предиктора с помощью рекурсивной процедуры из раздела 18.5.4. Порядок К можно определить по критерию КОП из раздела 18.5.5 или же выбрать заранее. Результат рассматривается как модель с остаточной дисперсией и авторегрессионным оператором

Соответствующий спектр вычисляется на основании равенства так что использование (18.6.32) и (18.6.16) приводит к оценке

Ее можно вычислить, используя тригонометрические формулы (18.6.14) и (18.6.16) или же представив знаменатель как ряд из косинусов порядка К, на основе (18.6.21) и (18.6.30). Если К выбрано заранее и таково, что велики, то

На самом деле эта оценка асимптотически близка к оценке, получаемой методом сглаживания с прямоугольным временным окном Это окно редко используют на практике, так как соответствующее частотное окно не является строго положительным и в оценке спектра могут появиться отрицательные значения. Однако авторегрессионная оценка спектра (18.10.5) всегда положительна. На рис. 18.10.1, д) показан результат применения этого метода к первой разности ряда продолжительности дня на основе предиктора порядка дисперсия которого близка к дисперсиям оценок на рис. 18.10.1, а), б), в).

Если к данным с помощью эффективной процедуры была подогнана модель АРСС, соответствующий спектр также можно вычислить. Если главной целью является оценка спектра, это весьма продолжительная процедура для того, чтобы ее можно было рекомендовать в общей ситуации. С другой стороны, спектр может помочь «почувствовать» модель. Спектр модели АРСС (18.9.2) можно вычислить с помощью формулы как

Числитель и знаменатель можно снова вычислить с помощью (18.6.14) и (18.6.16). Интересна гибкость (18.10.6) в приближении всего разнообразия форм, которые может иметь спектр. Если имеет корень вблизи точки границы единичного круга , т. е. корень, по модулю близкий к единице, то спектр в этой точке будет иметь значение, близкое к нулю. Аналогично если имеет корень, по модулю близкий к единице, то спектр будет иметь в этой точке пик. Присутствие как числителя, так и знаменателя позволяет, в частности, создать в спектре острые ямы и пики и дает моделям АРСС большие возможности для аппроксимации разных форм спектров. Это было бы гораздо труднее, если бы использовались лишь модели АР и СС.

Числитель и знаменатель также можно представить с помощью (18.6.21) и (18.6.30) как синусоидальные ряды и полиномы по степеней и соответственно. Тем самым (18.10.6) является рациональной функцией от такие функции известны своей гибкостью в задачах аппроксимации. На рис. 18.10.1, е) показан спектр модели , подогнанной к первой разности ряда продолжительности дня. Его статистические свойства можно (не без труда) вывести из свойств оценок параметров моделей АРСС.