18.3.3. ПЕРИОДОГРАММА

Методы гармонической регрессии можно плодотворно использовать в более общей ситуации, когда временной ряд достаточно большой длины предположительно содержит одну или несколько синусоидальных компонент с неизвестными частотами (в противоположность известному и достаточно малому периоду ). Подставляя длину вместо периода в формулу (18.3.2), мы получаем набор частот Временной ряд можно, таким образом, представить в следующем виде (беря если четно):

Свойства ортогональности [см. IV, раздел 20.4] непосредственно позволяют выразить коэффициенты по формулам и 1

Амплитуда компоненты с частотой дается формулой

а разложение суммы квадратов (несколько вольно называемое дисперсионным анализом [см. раздел 8.3]) — формулой

Представление (18.3.3) нельзя взять в качестве модели ряда, так как в нем предполагается периодичность с периодом Вернее будет рассматривать его как некоторое преобразование данных, надеясь, что исследование амплитуд откроет неочевидные до сих пор свойства, которые удастся проинтерпретировать в терминах частот периодических компонент. Для того чтобы такую интерпретацию можно было делать осмысленно, исследуем свойства величин для различных моделей, представляющих временной ряд Сначала дадим определение, мотивированное предыдущим обсуждением.

Определение 18.3.1. Периодограмма ряда в интервале определяется формулой

Для гармонической частоты величина равна — составляющей в разложении дисперсии (18.3.5), связанной с этой частотой. Данное определение просто распространяет этот конечный набор значений на весь непрерывный интервал частот. Альтернативное выражение, включающее комплексную экспоненту [см. IV, (9.5.8)], удобно для некоторых алгебраических преобразований.