18.8.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ АР(р)

В этом общем случае автокорреляционная функция является смесью затухающих экспонент и синусоидальных волн, отвечающих действительным и комплексным корням полинома Эти свойства можно вывести из соотношения (18.8.1), умножив его на беря математическое ожидание и деля на Так как в результате имеем

Для значений эти уравнения называются уравнениями

Юла—Уолкера, которые играют важную роль в теории модели Они линейны как по параметрам так и по и их можно использовать для определения одного из наборов значений по другому. Например, если уравнения

можно разрешить следующим образом:

Полезна также формула для отношения дисперсий

которую выводят аналогично (18.8.12), но с используя вытекающее из (18.6.1) соотношение

Для уравнение (18.8.12) дает способ вычисления последовательных значений , а общая теория дифференциальных уравнений [см. I, раздел 14.13] приводит к сформулированному утверждению о затухающих экспонентах и синусоидальных волнах.

Главное характеризационное свойство модели — это вытекающая практически из определения конечность ее ЧАКФ:

так как модель (18.8.1) выведена из (18.6.38) в предположении, что коэффициенты при равны нулю для

Итак, если момент затухания выборочной ЧАКФ, описанный в разделе 18.5.6, невелик, скажем не более 3 или 4, то это сильный довод в пользу применимости модели соответствующего порядка. В самом деле, описанная в разделе 18.5.5 рекурсивная процедура для вычисления коэффициентов конечного предиктора, остановленная при сводится к решению уравнений Юла—Уолкера для параметров и для отношения дисперсий по данным Используя вместо них выборочные

значения получаем довольно хорошие оценки например, в случае имеем

Можно доказать, что для любого набора значений автокорреляций решение уравнений Юла—Уолкера дает допустимое множество значений авторегрессионных параметров в том смысле, что автоматически будет выполнено условие стационарности, если только матрица в (18.5.16) положительно определена для Это условие без труда проверяется, если воспользоваться упоминавшейся рекурсивной процедурой для проверки неравенств для . Этот результат противоположен отмеченной в разделе 17.7.2 ситуации для модели когда набору может не соответствовать ни один набор параметров скользящего среднего. Это, конечно, не означает, что всегда нужно предпочитать модели как в последующих примерах, однако придает им определенную привлекательность. Так как последовательность всегда положительно определена, полученные из нее оценки параметров всегда допустимы.