12.2. ВЫБОРОЧНЫЕ СВОЙСТВА

12.2.1. ТЕОРИЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Собранные в этом разделе результаты необходимы для построения выборочных распределений [см. раздел 2.2] оценок метода наименьших квадратов, подогнанных значений зависимых переменных, отклонений и компонент в разложении суммы квадратов при условии, что исходная генеральная совокупность нормально распределена.

В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:

— нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией [см. раздел 1.4.2, где дисперсия обозначена через . Обозначение использованное здесь, всюду заменяется на или

— нецентральное распределение с к степенями свободы и параметром нецентральности X [см. раздел 2.8.1];

— F-распределение со степенями свободы.

— распределение Стьюдента с к степенями свободы.

Мы имеем следующие результаты:

а) [см. раздел 2.5.1];

б) [см. раздел 2.8.1].

2. Если имеют двумерное нормальное распределение [см. раздел 13.4.6], то

б) независимы тогда и только тогда, когда [см. II, теорема 13.4.1].

3. Если независимы, то:

а) раздел 2.5.3,a)];

б) если [см. раздел 2.8.1].

4. а) Если независимы, то [см. раздел 2.8.1];

б) если причем независимы, то

5. а) Если причем и независимы, то следует распределению Стьюдента с к степенями свободы;

б) если причем независимы, то т. е. следует -распределению с и степенями свободы.

Применение этих результатов покажем на примере линейной нормальной модели, в которой предполагается, что значения объясняемой переменной независимы и извлечены из нормальной генеральной совокупности со средними соответственно и общей дисперсией Составим вектор Тогда для любого фиксированного вектора [см. раздел 2.5.3,а)]

и [см. раздел 2.5.4,а)]

Первое утверждение следует из приведенных выше результатов 1а) и 3а), поскольку — линейная комбинация нормальных величин. Второе утверждение следует из 3б), поскольку