16.2. ВЫБОРКИ ИЗ МНОГОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ (MVN) РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Оценки некоторых параметров совокупности в многомерном случае можно получить по выборочным данным таким же образом, как и в одномерном, что было показано в разделе 16.1. Однако не все методы многомерного анализа представляют собой простые аналоги
методов, применяемых в одномерном случае. Большинство методов, рассматриваемых в данной главе, не имеет эквивалента в одномерном анализе.
16.2.1. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Для заданной выборки 
объема к из многомерного нормального распределения 
[см. II, раздел 13.4] со средним вектором 
и матрицей ковариаций V (для обозначения этого распределения возьмем аббревиатуру 
функция правдоподобия как функция параметров и V имеет вид
так как векторные наблюдения 
независимы. (Заметим, что компоненты векторной случайной переменной не будут взаимонезависимыми, если V не является единичной матрицей I.) Лог-правдоподобие есть
Последний член, который зависит только от 
может быть записан в форме
откуда видно, что лог-правдоподобие максимизируется при значении 
следовательно, х — оценка максимального правдоподобия для 
Проблема оценивания матрицы V не так проста. Поскольку матрица V — симметрична [см. I, раздел 6.7], имеется не 
элементов, которые нужно оценить, среди них 
дисперсий и 
ковариаций.
Уравнения правдоподобия удобнее переписать, взяв матрицу 
вместо V. Тогда определитель 
заменяется на 
Оценивая элементы в 
и используя многомерный аналог свойства инвариантности оценок максимального правдоподобия [см. раздел 6.2.6], можно показать, что оценкой максимального правдоподобия для V будет
где матрица А определена выражением (16.1.9). Эту оценку можно сделать несмещенной в результате умножения на 
Детали доказательства приведены в работах [Andersen (1958), с. 47—48] и [Morrison (1976), с. 99—100]. Рассмотренные результаты аналогичны результатам, полученным для оценок максимального правдоподобия в случае одномерного нормального распределения [см. пример 6.4.1].
Пример 16.2.1. Оценка дисперсионной матрицы двумерного нормального распределения. Рассмотрим случайную выборку 
из двумерного нормального распределения с вектором средних
и матрицей ковариаций
Обратная матрица для V будет
Членом лог-правдоподсбяя, соответствующим последнему члену в (16.2.2), будет
Дифференцируем его сначала по 
а затем по 
Получаем, что максимум функции лог-правдоподобия достигается, когда
и
т. е. когда
и
Следовательно, оценка максимального правдоподобия (ОМП) для 
есть
а для 
так что
Члены лог-правдоподобия, включающие 
можно представить в виде
Дифференцируя это выражение 
получим следующие уравнения правдоподобия ОМП для 
Из свойства инвариантности ОМП вытекает, что ОМП для коэффициента корреляции
есть
и знак 
совпадает со знаком 
Поскольку
из записанных выше уравнений следует, что
и
где 
— выборочные дисперсии, а 
— выборочная ковариация [см. (16.1.9)].
